Математическая энциклопедия - биортогональная система

пара множеств элементов (топологического) векторного пространства Xи (топологического) сопряженного пространства соответственно, удовлетворяющая условиям:

если , и отлично от нуля при (здесь каноническая билинейная форма, спаривающая Xи X*). Напр., Б. с. является б а зис Шаудера и множество, образованное коэффициентами разложения хпо нему. В гильбертовом пространстве Нсо скалярным произведением и базисом множество , удовлетворяющее условиям:

где при и при также является базисом; он наз. базисом, дуальным к , и , поскольку , множества образуют Б. с. В частности, базис в Нназ. ортонормированным, если он дуален самому себе.

Существуют, однако, Б. с., не образующие даже слабого базиса,таково, Hang., множество функций e ^{i k x}, в пространстве непрерывных периодич. функций, наделенном нормой

М. И. Войцеховский.

ВИПЛАНАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО действительное (2n+1)-мерное проективное пространство, в к-ром выделены две непересекающиеся n-мерные плоскости, действительные (Б. п. гиперболич. типа) или комплексно сопряженнее (Б. п. эллиптич. типа), а фундаментальная группа состоит из проективных преобразований, переводящих каждую из этих плоскостей в себя. Указанные две n-мерные плоскости наз. абсолютными плоскостями. Линейная конгруэнция действительных прямых, пересекающих каждую из абсолютных плоскостей, наз. абсолютной конгруэнцией. Эта конгруэнция служит действительной моделью n-мерного проективного пространства над алгеброй двойных или комплексных чисел. При n=1 Б. п. наз. биаксиальным пространством. Совокупность свойств геометрич. образов Б. п., сохраняющихся при преобразованиях фундаментальной группы, составляет содержание бипланарной геометрии. Наиболее подробно изучена биаксиальная геометрия (n=1), в к-рой развита теория кривых, поверхностей и комплексов прямых. А. П. Широков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985