Математическая энциклопедия - боголюбова неравенство

в статистической механике,1) Б. н. для функционала свободной энергии неравенство, реализующее вариационный принцип статистич.

механики. Для любых эрмитовых операторов справедливо неравенство:

где

и имеет смысл плотности свободной энергии для системы с гамильтонианом , аддитивный параметр число частиц или объем в зависимости от системы, абсолютная температура в энергетич. единицах, а

и обозначает термодинамические средине по гамильтониану .

Б. н. (*) находит применение при получении точных в термодинамич. пределе решений для, модельных задач квантовой статистич. физики [1], [2], в исследованиях методом молекулярного поля [3], при доказательстве существования термодинамич. предела, а также для получения физически ва'жных оценок для свободной энергии различных многочастичных систем [4]. Существуют обобщения Б. н. (*) на случай ал-гебри Неймана со "следом" [5] и общей алгебры Неймана [6].

Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., "J. Phisica", 1966 v 32, p. 933-944; [2] Боголюбов Н. Н. (мл.), Метод исследования модельных гамильтонианов, М., 1974; [3] Тябликов С. В., Методы квантовой теории магнетизма, 2 изд., М., 1975; [4] Кудрин Л. П., Статистическая физика плазмы, М., 1974; [5] Ruskai М. В., "Commun. Math. Phys.", 1972, v. 26, p. 280-289; [6] Araki H., "Commun. Math. Phys.", 1973, v. 34, p. 167-178.

2) Б. н. для функций Грина и корреляционных функций. Для двумерных временных температурных коммутаторных функций Грина в энергетич. представлении справедливо неравенство

где обозначает фурье-образ функции Грина (в энергетич. представлении) от соответствующих операторов в представлении Гейзенберга. Через спектральные представления функции Грина (полагая Б. н. (1) можно представить в виде:

где обозначает термодинамич. средние по гамильтониану системы Н, [,] знак коммутатора; а также можно получить неравенство, мажорирующее (2):

Общность неравенств (2) и (3) определяет их широкое применение при изучении различных физич. систем.

Улучшение оценок для корреляционной функции

достигается в (3) выбором в качестве оператора нек-рого "квазиинтеграла" движения, коммутирующего при с гамильтонианом системы H. При этом коммутатор в числителе правой части в (3) отражает трансформационные свойства операторов при инфинитезимальных преобразованиях непрерывной группы симметрии, генератором к-рой является оператор Неравенства (2), (3) эффективно используются при рассмотрении систем со спонтанным нарушением симметрии: термодинамич. средние тогда следует рассматривать в рамках квазисредних метода. Для функций Грина в классической статистич. механике справедливы аналогичные неравенства, причем соответствующие коммутаторы "переходят" в Пуассона скобки.

Б. н. позволили установить ряд соотношений для модельных систем статистич. физики, исследовать проблему упорядочения в конечных системах и др.

Лит. см. при статье Боголюбова теорема. А. М. Курбатов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985