Математическая энциклопедия - целое расширение

кольца расширение Bкоммутативного кольца Ас единицей такое, что любой элемент является целым над A, т. е. удовлетворяет нек-рому уравнению вида

где называемому уравнением целой зависимости.

Элемент хцел над Атогда и только тогда, когда выполняется одно из двух эквивалентных условий: 1) А[х]является А-модулем конечного типа; 2) существует точный А[x]-модуль, являющийся A-модулем конечного типа. Целый элемент алгебраичен над А. Если А - поле, то верно и обратное утверждение. Элементы поля комплексных чисел С, целые над кольцом наз. целыми алгебраическими числами. Если кольцо Весть модуль конечного типа над А, то любой элемент цел над А(обратное может не быть верным).

Пусть кольцо коммутативно, хи у - элементы R, целые над А . Тогда х+у и ху также целы над А, и множество всех элементов из R, целых над А, образует подкольцо, наз. целым замыканием Ав R.

Все рассматриваемые далее кольца предполагаются коммутативными.

Если Вявляется целым над . и А' - нек-рая A-алгебра, то цело над А'. Если В - целое расширение кольца Аи S- нек-рое мультипликативное подмножество в А, то кольцо S^-1. является целым над S^-1A. Область целостности Аназ. целозамкнутой, если целое замыкание Ав своем поле частных совпадает с А. Факториальное кольцо целозамк-нуто. Кольцо Ацелозамкнуто тогда и только тогда, когда для любого максимального идеала целозамкнуто локальное кольцо

Пусть В- целое расширение Аи нек-рый про стой идеал кольца А. Тогда и существует простой идеал кольца В, лежащий над (т. е. такой, что Идеал максимален тогда и только тогда, когда максимален Если L- конечное расширение поля частных кольца Аи В целое замыкание Ав L, то существует лишь конечное число простых идеалов кольца В, лежащих над заданным простым идеалом кольца А.

Пусть расширение Ц.