Математическая энциклопедия - данжуа интеграл

1) Данжуа узкий (специальный) интеграл обобщение понятия интеграла Лебега. Функция f(x). наз. интегрируемой в смысле узкого (специального, D*) интеграла Данжуа на [ а, b], если существует такая непрерывная функция F(x)на [ а, b], что F'(x)=f(x)почти всюду, и каково бы ни было совершенное множество Р, существует порция Р, на к-рой F(x)абсолютно непрерывна и где совокупность смежных интервалов к порции колебание на

при этом

Такое обобщение интеграла Лебега ввел А. Данжуа [1]; он показал, что этот интеграл восстанавливает функцию по ее точной конечной производной. Интеграл D*' эквивалентен Перрона интегралу.

2) Данжуа широкий (общий) интеграл обобщение понятия узкого Д. и. Функция f(x)наз. интегрируемой в смысле широкого (общего, D)интеграла Данжуа на [ а, b], если существует такая непрерывная функция F(x). на [а, b], что ее аппроксимативная производная почти всюду равна f(x)и каково бы ни было совершенное множество Р, существует порция Р, на к-рой F(x)абсолютно непрерывна; при этом

Введен независимо и почти одновременно А. Данжуа [2] и А. Я. Хинчиным [3], [4]. Интеграл Dвосстанавливает непрерывную функцию по ее точной конечной аппроксимативной производной.

3) Тотализация (T2S)0 представляет собой конструктивно определенный интеграл для решения задачи построения такого обобщения интеграла Лебега, к-рое позволило бы всякий всюду сходящийся тригонометрич. ряд рассматривать в качестве ряда Фурье (по этому интегралу). Введена А. Данжуа [5].

4) Тотализация (T2S )отличается от тотализации (T2S)0 тем, что при определении тотализации (T2S)0 обычный предел заменен на аппроксимативный. Для тотализации (T2S )А. Данжуа [5] дал и дескриптивное определение.

О взаимосвязях тотализации (T2S)0 и (T2S )с другими интегралами см. [6].

Лит.:[1] Denjoy А., "С. r. Acad. sci.", 1912, t. 154, p. 859-62, 1075-78; [2] его же, там же, 1916, t. 162, р. 377 -80; [3] Кhintсhine А., там же, 1916, t. 162, p. 287-91; [4] Xинчин А. Я., "Матем. сб.", 1918, т. 30, с. 543-57; [5] Denjоу A., Lecons sur le calcul des coefficients d'une serie trigonometrique, pt 1-4, P., 1941-49; [6] Виноградова И А, Скворцов В. А., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971, с. 65-107; [7] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.

Т.