Математическая энциклопедия - дедекиндово кольцо

ассоциативное коммутативное кольцо Rс единицей, не содержащее делителей нуля (т. е. коммутативная область целостности), в к-ром каждый собственный идеал представим в виде произведения простых идеалов (идеал Ркольца R наз. простым, если факторкольцо R/P не содержит делителей нуля). Свое название эти кольца получили по имени Р. Дедекинда (R. Dedekind), к-рый в числе первых изучал такие кольца в 70-х гг. 19 в.

Каждая область главных идеалов является Д. к. Если Rесть Д. к., L - конечное алгебраич. расширение его поля частных, то целое замыкание R' кольца R в L (т. е. совокупность элементов из L, являющихся корнями уравнений вида xⁿ+a1x^n-1+ ... +an=0,) снова будет Д. к. В частности, дедекиндовыми являются кольцо целых алгебраич. чисел и максимальные порядки полей алгебраич. чисел, т. е, целые замыкания кольца целых чисел в конечных алгебраич. расширениях поля рациональных чисел.

В Д. к. Rкаждый собственный идеал обладает единственным представлением в виде произведения простых идеалов. Эта теорема возникла из задачи о разложении элементов на простые множители в максимальных порядках полой алгебраич. чисел. Такое разложение, вообще говоря, не единственно.

Кольцо R дедекиндово тогда и только тогда, когда полугруппа дробных идеалов этого кольца является группой. Каждый дробный идеал Д. к. R обладает единственным представлением в виде произведения степеней (положительных или отрицательных) простых идеалов кольца Л. Д. к. обладает следующей характеризацией: коммутативная область целостности является Д. к. тогда и только тогда, когда Л есть нётерово кольцо, каждый собственный простой идеал кольца Rмаксимален и Rцелозамкнуто, т. е. совпадает со своим целым замыканием в поле частных. Другими словами, Д. к. есть нётерово нормальное кольцо размерности один по Круллю. Для Д. к. Rвыполняется так наз. "китайская теорема об остатка х": для данного конечного набора идеалов Ii и элементов х;кольца R,i=1, 2, . . ., га, система сравнений x=xi(mod Ii) имеет решение хОRтогда и только тогда, когда xi=xj(mod Ii+ + Ij )для i неравно j. Д. к. Rможно охарактеризовать также как Крулля кольцо размерности один. Каждое Д. к. является регулярным коммутативным кольцом и все его локализации по максимальным идеалам есть дискретного нормирования кольцо. Полугруппа ненулевых идеалов Д. к. R изоморфна полугруппе Р дивизоров этого кольца.

Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [3] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 2 изд., 1972; [4] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

Л. А. Бокутъ.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985