Математическая энциклопедия - дефектное значение

мероморфной функции fкомплексное число а(конечное или бесконечное), дефект к-рого (см. ниже) d(a, f) положителен. Функция f определена в круге комплексной плоскости С. Дефект значения а:

где Т(r, f) характеристическая функция Неванлинны, отражающая рост fпри и

считающая функция; здесь n(t, а)число решений уравнения f(z)=a в круге (с учетом кратностей).

Если при то для всех Если ни для какого г, то d( а, f) = 1 и аесть Д. з.; это равенство возможно и в более общем случае (напр., ).

Если

(или мероморфна во всей плоскости), то (соотношение дефектов), и число Д. з. для такой f не более чем счетно. В остальном множество Д. з. может быть произвольным; напр., для любых последовательностей и

найдется целая функция f такая, что d(av , f) = dv Для всех v и других Д. з. у f нет. Ограничения на рост f влекут за собой ограничения на Д. з. и их дефекты. Напр., мероморфная функция нулевого порядка или целая функция порядка не могут иметь более одного Д. з. Число

(f мероморфна в С) наз. дефектом в смысле Валирона. Множество чисел а, для к-рых D( а, f)>0, может иметь мощность континуума, но всегда имеет нулевую логарифмич. емкость.

См. также Исключительное значение, Распределения значений теория.

Лит.:[1] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.-Л., 1941; [2] Xейман У., Мероморфные функции, пер. с англ., М., 1966; [3] Гольдберг А. А., Островский И. В., Распределение значений мероморфных функций, М., 1970.

Ж. М. Чирка

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985