Математическая энциклопедия - доупорядочиваемая группа

группа, всякий частичный порядок в к-рой может быть продолжен до линейного (см. Упорядочиваемая группа). Д. г. наз. также О*-группами. Существует следующий критерий доупорядочиваемости группы. Пусть S(g)минимальная инвариантная подполугруппа группы G, содержащая элемент g. Группа Gдоупорядочиваема тогда и только тогда, когда для всякого подполугруппа S(g)не содержит единицы группы Gи для любых х,. пересечение не пусто.

Д. г. являются все нильпотентные группы без кручения и все упорядочиваемые двуступенно разрешимые группы. Свободные группы ранга большего 2 и свободные разрешимые группы класса разрешимости большего 2 дают примеры упорядочиваемых групп, к-рые не доупорядочиваемы. Для Д. г. справедлива локальная теорема (см. Мальцева локальные теоремы), т. е. если все конечно порожденные подгруппы группы Gдоупорядочиваемы, то и GДг. Однако подгруппа Д. г. не обязана быть Д. г. Если факторгруппа Д. г. упорядочиваема, то она есть Д. г. Имеются упорядочиваемые, но недоупорядочиваемые группы, факторгруппа по центру к-рых есть Д. г. Класс Д. г. замкнут относительно прямых произведений, но не замкнут относительно полных прямых произведений и, следовательно, неаксиоматизируем (см. Аксиоматизируемый класс). Сплетение Д. г. не всегда доупорядочиваемо.

Подгруппа Я группы Gназ. Г-доупорядочиваемой, если всякий максимальный частичный порядок группы Gиндуцирует на Н линейный порядок.

Лит.:[1] Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.

А. И. Кокорин, В. М. Копытов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985