Математическая энциклопедия - егорова теорема

о связи между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости последовательности функций: пусть m есть s-аддитивная мера, определенная на s-алгебре и последовательность ц-измеримых почти везде конечных функций fk(x),k=1, 2, . . ., сходится почти всюду к функции f(х);тогда для любого e>0 существует такое измеримое множество что и на множестве Е e. последовательность fk(x)сходится к функции f(x)равномерно. В случае, когда m.мера Лебега на прямой, это утверждение доказано Д. Ф. Егоровым [1].

Е. т. допускает различные обобщенные формулировки, расширяющие ее возможности. Пусть, напр., fk(x).последовательность измеримых отображений локально компактного пространства Xв метризуемое пространство Y, причем

предел существует локально почти всюду на Xпо Радона мере Тогда функция f: измерима по мере m и для любых компакта КМ Х и числа e>0 найдется компакт такой, что а сужения fk на K1 непрерывны и равномерно сходятся на К 1 к f. Заключения Е. т. могут не выполняться, если Yне метризуемо.

Лит.:[1] Егоров Д. Ф., "С.r. Acad. sci", 1911, t. 152, p. 244-6; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985