Математическая энциклопедия - егорова система

поверхностей триортогональная система е, состоящая из потенциальных поверхностей; названа по имени Д. Ф. Егорова, подробно рассмотревшего (под названием потенциальных систем) в 1901 (см. [1]) общую теорию и многочисленные примеры систем указанного вида. Е. с. 2 может быть определена как система, допускающая (однопараметрическую) группу преобразований, переводящих 2 саму в себя таким образом, что нормали в соответственных точках 2 остаются параллельными. Механическим истолкованием этой группы служит переносящее поверхности Е. с. стационарное течение жидкости, имеющее потенциал скоростей.

Пусть уравнения поверхностей, образующих Е. с. 2, Я/ коэффициенты Ламе, фигурирующие в выражении квадрата линейного элемента пространства в криволинейных координатах {и ⁱ}:

Р iрасстояние начала координат от трех касательных плоскостей е, Rik -главные радиусы кривизны поверхности и'= const, соответствующие элементу дуги Hkdu^k,bik=-Hk/Rikвеличины, через к-рые выражаются линейные элементы dsi сферич. изображений поверхностей:

Функции Pi и Hi удовлетворяют одной и той же системе уравнений:

Решения этих уравнений определяют еще две Е. с. е 1 и е -1 того же сферич. изображения, для к-рых

Продолжение этого преобразования в ту и другую стороны дает ряд Е. с. (ряд Егорова)

одного сферич. изображения, из к-рых каждая следующая е k+1 получается из предыдущей е k с помощью формул:

И вообще, изыскание сферич. изображения Е. с. е приводится к изысканию потенциальной системы на сфере: любую такую систему можно принять за сферич. изображение одного из трех семейств, составляющих 2. Е. с. е характеризуется тем, что

где w некоторая функция, имеющая смысл потенциала скоростей соответствующего течения, т. е. uⁱ=const потенциальные поверхности. При этом, для любой потенциальной поверхности Sопределяется Е. с. 2, в состав к-рой входит S. Касательная к линии пересечения какой-либо поверхности w=const с поверхностью uⁱ=const в любой точке параллельна лучу lⁱ, соединяющему центры геодезич. кривизн линий кривизны поверхности uⁱ=const; во всякой точке пространства три луча l¹; l², l³ параллельны одной и той жеплоскости касательной плоскости поверхности w= const, а соприкасающиеся плоскости координатных линий проходят через одну прямую. Величины bik и Rik для Е. с. удовлетворяют соотношениям:

(симметричность bik также необходима и достаточна для того, чтобы триортогональная система была Е. с).

Лит.:[1] Егоров Д. Ф., Работы по дифференциальной геометрии, М., 1970.

М. И. Войцехоеский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985