Математическая энциклопедия - энгеля теорема

пусть для конечномерной алгебры Ли над полем kлинейные операторы ad X (где ad X(Y) = [X, Y]) нильпотентны для всех Тогда существует базис алгебры относительно к-рого матрицы всех операторов ad Xтреугольны и имеют нулевую диагональ.

Ф. Энгель доказал (ок. 1887, опубликовано в [1]), что алгебра Ли с указанным свойством разрешима, откуда, в силу Ли теоремы, непосредственно вытекает сформулированное выше утверждение. Первое опубликованное доказательство Э. т. принадлежит В. Киллингу [2], указывавшему на приоритет Ф. Энгеля. Э. т. формулируется часто в следующей более общей форме: если линейное представление конечномерной алгебры Ли в векторном пространстве V и V - над произвольным полем), причем нильпотентный эндоморфизм для любого то существует ненулевой вектор такой, что 0 для любого Если Vконечномерно, то отсюда выводится существование в Vбазиса, относительно к-рого все имеют треугольные матрицы с нулевой диагональю (или, что то же, существует полный флаг F={Vi}в V, для к-рого для всех и Заключение Э. т. справедливо также для любого представления р, для к-рого алгебра Ли является линейной оболочкой нек-рого своего подмножества, состоящего из нильпотентных эндоморфизмов и замкнутого относительно операции коммутирования [4]. Алгебра Ли наз. энгелевой, если любой является энгелевым элементом, т. е. если все операторы ad X, нильпотентны или, что то же, если для любого Xнайдется такое n, что

для любого Конечномерная алгебра Ли энгелева тогда и только тогда, когда она нильпотентна. Для бесконечномерных алгебр нильпотентность не вытекает из энгелевости, однако конечно порожденная алгебра Ли, в к-рой (ad Х) ^п=0для нек-рого п(где пне зависит от X), нильпотентна [3].

Лит.:[1] Liе S., Еngеi F., Theorie der Transformationsgruppen, Bd 3, Lpz., 1893; [2] Killing W., лMath. Ann.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985