Математическая энциклопедия - энтропийная теория динамических систем

раздел эргодической теории, тесно связанный с теорией вероятностен и теорией информации. Природа этой связи в общих чертах такова.

Пусть {Tt} - динамич. система (обычно измеримый поток или каскад )с фазовым пространством Wи инвариантной мерой Пусть измеримая функция, а измеримое разбиение W на прообразы (для дальнейшего достаточно рассматривать прообразы f, имеющей счетное, обычно даже конечное, число значений и соответствующие Тогда есть стационарный (в узком смысле слова) случайный процесс с пространством элементарных событий W. Обычным образом этот процесс можно рассматривать как процесс пространством элементарных событий к-рого служит пространство выборочных функций снабженное надлежащей мерой v, a Отображение

является гомоморфизмом пространств с мерой (см. определение в ст. Метрический изоморфизм), переводящим { Т t} всдвиги {St},где

Процесс содержит нек-руго информацию об исходной системе { Т t}. Это может быть даже полная информация, если я изоморфизм (тогда говорят, что разбиение образующее для системы { Т t}; если Тавтоморфизм, то разбиение наз. односторонне образующим для Т, если оно является образующим для каскада и двусторовне образующим для Т, если оно образующее для Однако зависит также от выбора f, т. е. прежде всего от (конкретные значения f на элементах здесь менее важны). Для эргодической теории интересны те свойства индивидуального процесса или совокупности таких процессов (получающихся при различных к-рые являются свойствами самой системы { Т t}. Однако выделить такие свойства долго не удавалось либо они сводились к известным.

Эту трудность удалось преодолеть в середине 50-х гг. 20 в. А. II. Колмогорову, к-рый ввел принципиально новый (неспектральный) инвариант метрич. энтропию динамич. системы и подчеркнул роль возрaстающих измеримых разбиений (уже континуальных), т. е. таких, для к-рых мельче (mod 0) при t>0. (Таким является разбиение, описывающее лпрошлое

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985