Математическая энциклопедия - фабера многочлены

классическая базисная система, служащая для представления аналитич. ций в комплексной области. Пусть дополнение ограниченного континуума К, содержащего более одной точки, есть односвязная область Dкомплексной плоскости С, а функция отображает конформно и однолистно область Dна область |w|>1 при условиях и Тогда Ф. м. {Ф n(z)} можно определить как суммы членов с неотрицательными степенями z в разложениях Лорана функций {Ф ⁿ(z)} в окрестности точки Ф. м. для континуума Кможно определить так же, как коэффициенты разложения

где функция обратная функции Если континуум К - круг то Ф п(z)=zⁿ. А в случае когда К - отрезок [-1, 1,], Ф. м. суть Чебышева многочлены1-го рода. Эти многочлены были введены Г. Фабером [1].

Если континуум Кесть замыкание односвязной области G, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Г, а функция f(z) аналитическая в области G, непрерывная в замкнутой области и имеющая ограниченную вариацию на Г, то в области Gэта функция разлагается вряд Фабера

сходящийся равномерно внутри области G, т. е. на всяком замкнутом подмножестве области G, причем коэффициенты разложения определяются по формуле

Ряд Фабера (2) сходится равномерно в замкнутой области если, напр., кривая Г имеет непрерывно вращающуюся касательную, угол наклона к-рой к действительной оси как функция длины дуги удовлетворяет условию Липшица. При этом же условии на кривую Г для всякой функции f(z), аналитической в области Gи непрерывной в замкнутой области имеет место неравенство Лебега

где постоянная c1 не зависит от пи z, a наилучшее равномерное приближение функции f(z) многочленами степени не старше пв замкнутой области

В числителе левой части формулы (1) можно ввести весовую функцию вида где функция g(z), аналитическая в области D, отлична от нуля и

Тогда коэффициенты разложения (1) наз. обобщенными многочленами Фабера.

Лит.:[1] Faber G., лMath. Ann.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985