Математическая энциклопедия - флаговое пространство

проективное n-пространство, метрика к-рого определяется абсолютом, состоящим из совокупности вложенных друг в друга m-плоскостей, т=0, 1, . . ., п-1, называемых флагом; Ф. п. обозначается Fn. Абсолют Ф. п. может быть получен из абсолютов галнлеева или псевдогалилеева пространств путем предельного перехода в квадриках абсолютов. В частности, флаг (абсолют) пространства F3 состоит из 2-плоскости Т 0, в ней лежит прямая Т 1 (евклидова прямая), на прямой точка Т 2. Плоскость F2 представляет собой проективную 2-плоскость с выделенной прямой Т 0 и точкой T1 и совпадает с галилеевой 2-плоскостью. Прямая F1 представляет собой проективную прямую с выделенной точкой T0 и совпадает с евклидовой прямой.

Если в Ф. п. Fn выбрана такая система аффинных координат (xⁱ), что векторы прямых, проходящих через (п-m 1)-плоскость Т т, определяются условием х ¹=x²= . . . = х ^m=0, то за расстояние между точками X(х ¹, х²,...,х ^п) и Y(у ¹, у²,...,у ⁿ) принимается число d=|x¹ у¹ |; если у ¹ = х¹, . . ., y^k-1=x^k-1, то расстояние определяется числом d^(k-1) =|x^ky^k|.

Прямые, пересекающие (n-т)-плоскость и не пересекающие (n-т-1)-плоскость, наз. прямыми порядка т.

Движениями Ф. п. являются коллинеации, переводящие абсолют в себя. Движения Ф. п. являются подгруппой аффинных преобразований аффинного n-пространства, и эта группа движений Ф. п. является группой Ли.

Пространство Fn двойственно самому себе. За величину угла между двумя ( п-1)-плоскостями принимается расстояние между точками, двойственными этим плоскостям.

Ф. п. является частным случаем полуэллиптических пространств. В частности, Ф. п. F3 совпадает с 3-пространством Флаговоe 3-пространство является единственным пространством с параболич. метриками расстояний на прямых, в полуплоскостях и в пучках плоскостей.

Лит.:[1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969.

Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985