Математическая энциклопедия - фробениуса автоморфизм

элементгруппы Галуа специального вида, играющий фундаментальную роль в теории нолей классов. Пусть L - алгебраич. расширение конечного поля К. Тогда Ф. а. наз. автоморфизм определяемый формулой для всех где (мощность К). Если L/К-конечное расширение, то порождает группу Галуа G(L/K). Для бесконечного расширения L/K автоморфизм является топологич. образующей группы G(L/K). Если и то

Пусть k локальное поле с конечным полем вычетов а К- неразветвленное расширение поля k.

Тогда Ф. а. расширений полей вычетов однозначно продолжается до автоморфизма наз. Ф. а. неразветвлунного расширения K/k. Пусть -кольцо целых элементов поля К и -максимальный идеал в Тогда Ф. а. однозначно определяется условием для любого Если K/k- произвольное расширение Галуа локальных полей, то Ф. а. расширения K/k иногда называют любой автоморфизм индуцирующий на максимальном неразветвленном подрасширении поля А Ф. а. в указанном выше смысле. Пусть K/k - расширение Галуа глобальных полей, простой идеал поля kи нек-рый простой идеал поля К, лежащий над И пусть но разветвлен в расширении K/k и Ф. а. неразветвленного расширения локальных полей Отождествляя группу Галуа с подгруппой разложения идеала н G(K/k), можно рассматривать как элемент группы G(K/k). Этот элемент наз. Ф. а., соответствующим простому идеалу Если K/k - конечное расширение, то согласно теореме Чеботарева о плотности для любого автоморфизма существует бесконечное число простых идеалов не разветвленных в K/k таких, что Для абелева расширения K/k элемент зависит только от В этом случае обозначается через и наз. символом Артина простого идеала

Лит.:[1] Вейль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985