Математическая энциклопедия - гетероклиническая точка

такая точка (), принадлежащая области определения функции Гамильтона гамильтоновой системы

что решение системы (*), проходящее через эту точку, при асимптотически приближается к нек-рому пе-риодич. решению , а при асимптотически приближается к другому периодич. решению . При этом само решение, проходящее через Г. т., наз. гетероклиническим.

Существует связь между гетероклинич. решениями системы (*) и двумерными инвариантными поверхностями этой системы. Если двумерная инвариантная поверхность разделяет периодич. решения и , то не существует гетероклинич. решения, соединяющего эти периодич. решения. Во многих случаях справедливо и обратное. В невырожденном случае в окрестности гомоклинич. решения (см. Гомоклиническая точка).существует бесконечная последовательность периодич. решений, из к-рых любые два можно соединить гетероклинич. решением.

Окрестность контура, составленного из конечного числа периодических и гетероклинических решений системы (*) (так наз. гомоклинического контура), обладает структурой, во многом сходной со структурой гомоклинич. решения.

Сформулированное выше определение Г. т. почти дословно переносится на случай гамильтоновой системы с числом степеней свободы , если периодич. решения заменить инвариантными торами и размерности и соответственно, Гетероклинич. решения играют важную роль в изучении неустойчивости в гамильтоповых системах с числом степеней свободы больше двух и в теории грубых динамич. систем (см. Грубая система).

Лит.:[1] Пуанкаре А., Новые методы небесной механики гл. 33, Избр. тр., пер. о франц., т. 2, М., 1972; [2] Zehnder E. "Communs Pure and Appl. Math.", 1973, v. 26, № 2 p. 131-82; [3] Мельников В. К., "Тр. Моск. матем. об-ва" 1963, т. 12, с. 3-52; [4] Смейл С., "Математика", 1967 т. 11, № 4, с. 69-78, 88-106; [5] Шильников Л. П., "Матем. со.", 1967, т. 74(116), № 3, с. 378-97; [6] Алексеев В. М., "Матем. сб.". 1968, т. 76(118), № 1, с. 72-134; т. 77 (119), № 4, с. 545-601; 1969, т. 78 (120), № 1, с. 3 50.

В. К. Мельников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985