Математическая энциклопедия - хаара мера

ненулевая положительная мера на -кольце . подмножеств Елокально компактной группы G, порожденном семейством всех компактных подмножеств, принимающая конечные значения на всех компактных подмножествах в Gи удовлетворяющая либо условию левоинвариантности: для всех где либо условию правоинвариантности:

для всех где

Соответственно говорят о левоили правоинвариантной X. м. Всякая X. м. -регулярна, т. е.

для всех

Левоинвариантная (а также правоинвариантная) Х. м. существует и определена однозначно с точностью до положительного множителя; это было установлено А. Хааром [1] (при дополнительном предположении о сепарабельности группы G).

Если f финитная непрерывная функция на G, то f интегрируема относительно левоинвариантной X. м. на G и соответствующий интеграл левоинвариантен (см. Инвариантное интегрирование), т. е.

для всех Аналогичным свойством обладает правоинвариантная X. м. Мера Хаара всей группы G конечна тогда и только тогда, когда G компактна.

Если левоинвариантная X. м. на G, то для любого имеет место равенство

где непрерывный гомоморфизм группы G в мультипликативную группу R⁺ положительных действительных чисел, не зависящий от выбора непрерывной финитной функции f на G. Гомоморфизм наз. модулем группы G; мера является правоинвариантной X. м. на G. Если то группа Gназ. унимодулярной; в этом случае левоинвариантная X. м. является также и правоинвариантной и наз. двусторонне инвариантной. В частности, любая компактная, дискретная и абелева локально компактная группа, а также любая связная полупростая или нильпотентная группа Ли унимодулярна. Унимодулярность группы G равносильна также тому, что любая левоинвариантная Х. м. на G инверсионно инвариантна, т. е. для всех

Если G группа Ли, то интеграл но левоинвариантной (правоинвариантной) X. м. на G определяется формулой

где линейно независимые левоинвариантные (правоинвариантные) дифференциальные формы 1-го порядка на G (см. Маурера Картана форма), п=dimG. Модуль группы Ли G определяется формулой

где Ad присоединенное представление.

Примеры. 1) X. м. на аддитивной группе и на факторгруппе (группа вращений окружности) совпадает с обычной лебсговской мерой. 2) Полная линейная группа или С, унимодулярна, причем X. м. имеет вид

где k=n при и k=2n при a dx - лебеговская мора в евклидовом пространстве всех матриц порядка . над полем Ф.

Если G локально компактная группа, H ее замкнутая подгруппа, X - однородное пространство G/H, и модули групп Gи Н соответственно, непрерывным гомоморфизм группы G в задаваемый формулой

то существует положительная мера v на -кольце . множеств порожденном семейством компактных подмножеств в X, однозначно определяемая условием:

где f любая непрерывная финитная функция на G, причем

для всех непрерывных финитных функций f на X.

Лит.: [1] Нааr A., лAnn. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985