Математическая энциклопедия - хаара система

одна из классических ортонормированных систем функций. Функции Хаара этой системы определяются на отрезке [0, 1] следующим образом:

если n=2^m+k, k=1,. . .,2 ^т, т=0,1,. . ., то

Во внутренних точках разрыва функции Хаара полагаются равными полусумме своих предельных значений справа и слева, а на концах отрезка [0, 1] своим предельным значениям изнутри отрезка.

Система определена А. Хааром ([1]). Она ортонормирована на отрезке [0, 1]. Ряд Фурье по этой системе от любой непрерывной на отрезке [0, 1] функции сходится к ней равномерно. Более того, если модуль непрерывности функции f(t) на отрезке [0, 1], то для частных сумм Sn(t, f) порядка пряда Фурье-Хаара функции f(t) справедливо неравенство

X. с. является базисом в пространстве Lp [0, 1], Если и интегральный модуль непрерывности функции f(t)в метрике пространства L р [0. 1], то (см. [3])

X. с. является безусловным базисом в пространстве Lp [0, 1] при 1<р<oo (бесконечность).

Если функция f(t)интегрируема по Лебегу на отрезке [0, 1], то ее ряд Фурье-Хаара сходится к ней в любой точке Лебега этой функции и, в частности, почти всюду на [0, 1]. При этом сходимость (и абсолютная сходимость) ряда Фурье-Хаара в фиксированной точке отрезка [0, 1] зависит лишь от значений функции в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Для рядов Фурье Хаара существенно отличаются друг от друга следующие свойства: а) абсолютная сходимость всюду; б) абсолютная сходимость почти всюду; в) абсолютная сходимость на множестве положительной меры; г) абсолютная сходимость ряда коэффициентов Фурье. Для тригонометрич. рядов все эти свойства равносильны.

Свойства коэффициентов Фурье Хаара резко отличаются от свойств тригонометрич. коэффициентов Фурье. Напр., если функция f(t) непрерывна на отрезке [0,1], а an(f) ее коэффициенты Фурье по системе то справедливо неравенство

откуда следует, что

В то же время коэффициенты Фурье Хаара непрерывных функций не могут убывать слишком быстро: если функция f(t) непрерывна на отрезке [0,1] и

то f(t)=const на [0,1].

Для функций справедливы следующие оценки (см. [3]):

Если же f(t)имеет квнечную вариацию V(f) на отрезке [0,1], то

Все эти неравенства являются точными в смысле порядка убывания их правых частей при (в соответствующих классах) (см. [3]).

Интересной особенностью отличаются ряды вида

безусловно сходящиеся почти всюду: если ряд вида (*) при любом порядке следования его членов сходится почти всюду на множестве положительной меры Лебега (исключительное множество меры нуль может зависеть от порядка следования членов ряда (*)), то этот ряд сходится абсолютно почти всюду на [0, 1]. Для рядов вида (*) справедлив следующий критерий: чтобы ряд (*) сходился почти всюду на измеримом множествe необходимо и достаточно, чтобы ряд сходился почти всюду на Е.

Ряды Хаара могут служить для представления измеримых функций: для любой конечной почти всюду на отрезке [0,1] измеримой функции f(t)существует ряд вида (*), к-рый почти всюду на [0,1] сходится к функции f(t). При этом конечность функции f(t)существенна: не существует ряда вида (*), сходящегося к (или на множестве положительной меры Лебега.

Лит.:[1] Нааr A., лMath. Ann,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985