Математическая энциклопедия - измеримое разбиение

пространства с мерой ( М,m) разбиение x. этого пространства на непересекающиеся подмножества (именуемые элементами разбиения), к-рое можно получить как разбиение на множества уровня нек-рой измеримой функции (с числовыми значениями) на М. Это определение можно переформулировать в терминах "внутренних" свойств разбиения (см. [1]). В соответствии с общей тенденцией пренебрегать в вопросах теории меры множествами меры нуль часто под И. р. понимают разбиение, измеримое по mod 0, т. е. эквивалентное по mod 0 нек-рому И. р. (два разбиения x, h пространства с мерой Мэквивалентны по mod 0, если существует такое множество Nмеры 0, что разбиения пространства состоящие из пересечений с элементов разбиений x и h, совпадают).

Хотя приведенное определение имеет смысл для любого пространства с мерой, фактически И. р. рассматривают почти исключительно для Лебега пространства (и иногда для пространств, в какой-то степени обладающих свойствами последних, напр, для пространств с совершенной мерой, см. [2], [3]), так как именно в этих пространствах И. р. обладают рядом "хороших" свойств. Так, в этом случае существует система условных мер (или, как говорили раньше [1], каноническая система мер), принадлежащая И. р. Это есть система мер m(-|С )на элементах Сразбиения x, позволяющая представить интегрирование по m в виде повторного интегрирования: сначала на элементах Сосуществляется интегрирование по соответствующим мерам а затем полученный результат, к-рый можно рассматривать как функцию на факторпространстве М/x, надо проинтегрировать по имеющейся в последнем естественной мере mx (M/x, по определению, имеет своими точками элементы разбиения x, а своими измеримыми подмножествами те, прообразы к-рых при естественной проекции измеримы; мера Интерпретируя ( М,m) как пространство элементарных событий в теории вероятностей, можно сказать, что система условных мер является нек-рым "усовершенствованием" условной вероятности, тесно связанным со спецификой пространства Лебега: для произвольных пространств элементарных событий условную вероятность, вообще говоря, нельзя интерпретировать с помощью набора каких-то мер на элементах каких-то разбиений.

Неизмеримые (и неизмеримые по mod 0) разбиения отнюдь не всегда являются "патологическими" объектами, как неизмеримые множества или функции. Напр., разбиение фазового пространства эргодической динамич. системы на ее траектории может иметь вполне "классическое" происхождение; просто его свойства отличны от свойств И. р.

Лит.:[1] Рохлин В. А., "Матем. сб.", 1949, т. 25, № 1, с. 107-50; [2] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.Л., 1949; [3] Сазонов В. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1962, т. 26, №3, с. 391-414.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985