Математическая энциклопедия - измельчение

измельчающееся семейство множест в,множество Fв топологич. пространстве Xтакое, что для любой точки и любой ее окрестности О х найдется обладающее свойством: объединение всех элементов семейства у, содержащих хи наз. звездой Stg (x) точки хотносительно семейства у, содержится в О х.

Важны И. открытых покрытий. Они играют существенную роль в теория размерности, в теории бикомпактных расширений, теории равномерных пространств, теории непрерывных отображений, метризационной проблематике. Измельчаемость множества открытых покрытий означает, говоря неформальным языком, что это множество покрытий своими элементами сколь угодно точно аппроксимирует данное пространство вблизи каждой точки. Часто требование измельчаемости соединяется с ограничениями, обеспечивающими определенные соотношения между покрытиями семейства типа вписанности, звездной вписанности или направленности. Так, на этом пути получается определение равномерной структуры, совместимой с данной топологией. В связи с теорией паракомпактных пространств рассматриваются И. локально конечных покрытий, а в теории бикомпактных пространств И. конечных открытых покрытий. В теории размерности особое значение имеют направленные отношением вписанности И. открытых покрытий данной кратности. И. замкнутых покрытий, на к-рые не наложено заранее ограничений типа локальной конечности, не представляют интереса, напр, покрытие любого T1 -пространства всеми его одноточечными подмножествами образует И., к-рое не несет никакой информации о топологии пространства.

Важную роль играют счетные И. открытых покрытий, записываемые часто при произвольной нумерации их элементов натуральными числами в виде измельчающихся последовательностей. Такие И. выдвинулись на первый план в проблеме метризации пространств, наличие их является необходимым признаком метризуемости. Этот признак не достаточен в классе всех вполне регулярных пространств, но добавление паракомпактности (также являющейся следствием метризуемости) уже делает его таковым. Точнее, T1 -пространство метризуемо в том и только том случае, если оно коллективно нормально и обладает счетным И. В частности, бикомпакт со счетным И. метризуем. Существует ли без дополнительных аксиоматич. предположений неметризуемое нормальное пространство со счетным И., неизвестно (1978), однако известно, что существование такого пространства совместимо с аксиоматикой Цермело Френкеля, хотя и "наивного" примера до сих пор не построено.

Класс пространств со счетным И. сам по себе обладает хорошими свойствами. Он замкнут относительно операций перехода к произвольному подпространству и счетного перемножения, устойчив относительно совершенных отображений в сторону образа. Однако целый ряд закономерностей, действующих в классе метризуемых пространств, для пространств со счетным И. нарушается. Так, сепарабельное пространство со счетным И. уже не обязано иметь счетной базы. Пространство со счетными И. паракомпактно в том и только в том случае, если оно метризуемо. Не будучи, вообще говоря, метризуемыми, пространства со счетными И. допускают обобщенную метризацию посредством симметрик, удовлетворяющих условию Коши. Имеется также удобная характеристика пространств со счетным И., как образов метрич. пространств при непрерывных открытых отображениях, подчиненных требованию: прообраз каждой точки лежит на положительном расстоянии от дополнения к прообразу любой ее окрестности.

Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974.

А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985