Математическая энциклопедия - категоричность в мощности

x свойство класса алгебраич. систем, заключающееся в изоморфизме всех систем из этого класса, имеющих мощность x. Теория Т1-го порядка наз. категоричной в мощности х, если все модели Тмощности xизоморфны одной алгебраич. системе. Счетная полная теория Ткатегорична в счетной мощности тогда и только тогда, когда для любого натурального числа псуществует такое конечное множество Fn формул сигнатуры Тсо свободными переменными xl, . .., xm что любая формула сигнатуры Тсо свободными переменными х 1,..., х п эквлвалентна в теории Тодной из формул множества Fn. Совокупность аксиом:

определяет теорию Т 0 плотных линейных порядков, к-рая категорична в счетной мощности и не категорична во всех несчетных мощностях. Теория Т 1 алгебраически замкнутых полей характеристики 0 категорична во всех несчетных мощностях, но не категорична в счетной мощности. Верна общая теорема: если счетная теория Т1-го порядка категорична в какой-нибудь несчетной мощности, то она категорична во всех несчетных мощностях. Этот результат обобщен на несчетные теории Тс заменой в условии несчетных мощностей на мощности, большие мощности теории Т. Квазитождеством наз. универсальное замыкание формулы

где Qi и Р - атомарные формулы. В счетных теориях T', аксиоматизируемых с помощью квазитождеств, возможностей распределения категоричности еще меньше: если такая теория T' категорична в счетной мощности, то она категорична во всех мощностях. Если к аксиомам теории Т 0 добавить аксиомы для констант с,-

где iпробегает все натуральные числа, то полученная теория Т 3 имеет ровно три счетных модели (с точностью до изоморфизма), так как возможны лишь 3 случая: множество {с 0, с 1, ..., с п, ...} не имеет верхней грани, имеет верхнюю грань, но не имеет наименьшей верхней грани, и, наконец, имеет наименьшую верхнюю грань. Если в счетных моделях М 1 и М 2 теории T3 имеет место один и тот же из описанных случаев, то М 1 изоморфна М 2. Оказывается, что среди теорий, категоричных в несчетных мощностях, аналогичного примера найти нельзя. А именно: если теория Т1-го порядка категорична в несчетной мощности, то число счетных моделей Т(с точностью до изоморфизма) либо равно 1, либо бесконечно.

Лит.:[1] Сакс Дж., Теория насыщенных моделей, пер. с англ., М., 1976; [2] Палютин Е. А., "Алгебра и логика", 1975, т. 14, №2, с. 145-85; [3] Shelah S., "Proc. of Symp. Pure Math.", 1974, v. 13, № 2, p. 187-203.

E. А. Палютин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985