Математическая энциклопедия - категоричная система аксиом

всякая система аксиом 2 , для к-рой все алгебраические системы сигнатуры 2, удовлетворяющие этим аксиомам, изоморфны. Из теоремы Мальцева Тарского об элементарном расширении следует, что модели категоричной системы е аксиом 1-го порядка имеют конечную мощность. Верно и обратное: для любой конечной алгебраич. системы Асуществует категоричная система е аксиом 1-го порядка, модели к-рой изоморфны А. Пусть е 0 множество универсальных замыканий формул

где j(х).любая формула сигнатуры Система аксиом е 0 известна под названием арифметики Пеан о. Арифметика натуральных чисел N будет моделью для е 0. Однако существуют модели е 0, не изоморфные N. Пусть система е 1 получается из е 0 заменой схемы элементарной индукции 7) на аксиому полной индукции

записанную на языке 2-го порядка. Система е 1 является категоричной, и все модели е 1 изоморфны арифметике натуральных чисел N. Другой способ категоричного описания арифметики Nсостоит в добавлении к е 0 следующей бесконечной аксиомы (языка Lw1w):

где псокращение для суммы 1+.. .+1 из пединиц.

Лит.:[1] Шенфилд Дж., Математическая логика, пер. с англ., М., 1975.

Е. А. Полютин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985