Математическая энциклопедия - категория с инволюцией

категория, обладающая рядом характерных свойств категории бинарных отношений. К. с и. наз. категория, в к-рой каждое множество Н( А, В )частично упорядочено отношением а также задано отображение наз. инволюцией, сопоставляющее морфизму а морфизм и удовлетворяющее следующим условиям:

В каждой К. с и. утверждение, двойственное истинному утверждению, также истинно (усиленный принцип двойственности). Категория, двойственная К. с и., является К. с и. Всякая группа может рассматриваться как К. с п., состоящая из одного объекта, если в качестве отношения порядка взять отношение тождества (тривиальный частичный порядок), а в качестве инволюции отображение, сопоставляющее элементу группы обратный к нему элемент.

Важный пример К. с и.категория бинарных отношений над категорией множеств строится следующим образом. морфизмы бинарные отношения с обычным умножением бинарных отношений и частичной упорядоченностью, индуцируемой отношением включения подмножеств декартова произведения. Инволюция в этой категории определяется с помощью перестановки множителей в декартовом произведении. Аналогично можно построить категории бинарных отношений над категориями групп, колец, топологич. групп и т. п. Однако для категории, всех топологич. пространств описанное выше построение зависит от выбора структуры бикатегории и может привести к неассоциативному умножению.

Описание строения разных классов К. с п., их связей с классами точных, абелевых, регулярных категорий и их использование в гомологич. алгебре можно найти в [1] [4].

Лит.:[1] Brinkmann Н. В., Рирре D., Abelsche und exakte Kategorien, В. Hdlb.-N. Y., 1969; [2] Кawahara J., "Memoirs Fac. Sci., Kyushu Univ. Ser. A. Math.", 1973, v. 27, № 1, p. 149-73; [3] его жe, там же, 1973, v. 27, №2, p. 249-73; [4] Цаленко М. Ш., "Докл. АН СССР", 1973, т. 211, № 2, с. 297-9.

М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985