Математическая энциклопедия - арифметика

область знаний о числах и операциях в числовых множествах. Говоря об А., имеют в виду рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятия числа, приемы и средства вычислений, исследование операций с числами различной природы, анализ аксиоматич. структуры числовых множеств, свойства чисел. Когда делается упор на логич. анализе понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана с алгеброй, в к-рой, в частности, изучаются свойства операций над числами. Свойства же самих целых чисел составляют предмет теории чисел (см. Элементарная теория чисел, Чисел теория).

Термин "А." иногда употребляют и тогда, когда имеют дело с операциями над объектами самой различной природы: "А. матриц", "А. квадратичных форм" и т. д.

Культура счета возникла и развивалась задолго до создания дошедших до нас письменных памятников. Наиболее древними письменными математич. памятниками являются кахунские папирусы и знаменитый папирус Ринда, относящийся приблизительно к 2000 до н. э. Аддитивная иероглифич. система счисления позволяла египтянам сравнительно просто производить только операции сложения и вычитания натуральных чисел.

Умножение выполнялось с помощью удвоения, т. е. множитель разбивался на сумму степеней двойки, производилось умножение на отдельные слагаемые, а затем компоненты складывались. Действия с дробями египтяне сводили к операциям саликвотными дробям п, т. е. с дробями вида -. Более сложные дроби разбивались с помощью таблиц на сумму алпквотных дробей. Деление осуществлялось вычитанием из делимого чисел, получаемых в процессе последовательного удвоения делителя. Громоздкая шестидесятичная система счисления вавилонян вызывала большие трудности при выполнении арифметич. операций. До нас дошли многочисленные таблицы, с помощью к-рых вавилоняне выполняли умножение и деление.

А. у греков изучение свойств чисел; они не относили к ней практику вычислений. Вопросы, связанные с техникой операций над числами, т. е. способы вычислений, составляли особую науку, наз. логистикой. Такое разделение от греков перешло в средневековую Европу. Только в эпоху Возрождения общим назв. А. стали объединять как начатки теории чисел, так и практику вычислений. Греческая математика резко разграничивала понятия числа и величины. Греческие математики называли числами только те числа, к-рые теперь наз. натуральными числами, и различали такие разнородные, по их представлениям, понятия, как числа п гео-метрич. величины. Специальные греческие сочинения по логистике до нас не дошли: все же известно, что греки применяли способ умножения, близкий к современному. Алфавитная система нумерации сильно усложняла операции над числами. Греки практиковали вычисления с обыкновенными дробями, однако дроби не рассматривались какчисла, а только как отношения натуральных чисел.

7 -9-ю книги "Начал" Евклид (3 в. до н. э.) посвятил целиком А. в античном.