Математическая энциклопедия - арифметический ряд

порядка тпоследовательность значений многочлена степени т:

принимаемых им при последовательных целых, неотрицательных значениях переменной Если получается арифметич. прогрессия с начальным членом и разностью . При или получаются последовательности квадратов или кубов целых чисел частные случаи А. р. 2-го и 3-го порядков. Если составить ряд из разностей соседних членов А. р., затем для полученной последовательности разностей также образовать их разности (вторые разности), для вторых разностей образовать разности (третьи разности) и т. д., то на m-м этапе окажется, что все (m-ые) разности равны между собой. Обратно, если для нек-рой последовательности чисел ее m-ые разности равны между собой, то эта последовательность есть А. р. порядка т.

Пользуясь этим свойством, можно строить А. р. различных порядков, отправляясь от их разностей. Напр., последовательность единиц: можно рассматривать как первые разности последовательности натуральных чисел: как вторые разности последовательности треугольных чисел: как третьи разности последовательности тетраэдр и ческих чисел: и т. д. Названия этих чисел объясняются тем, что треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в виде треугольника (рис. 1), а тетра-эдрические в виде тетраэдра (пирамиды) (рис. 2). Треугольные числа выражаются формулой а тетраэдрические формулой

Обобщением треугольных чисел являются k-yгольные, или фигурные числа, игравшие важную роль на разных этапах развития арифметики, k-угольные числа имеют вид:

Они образуют А. р. 2-го порядка, с первым членом 1, вторым членом и вторыми разностями . При получаются треугольные числа, при квадратные , при пентагональные (пятиугольные) и т. п. Названия эти поясняются на рис. 3 и 4, где числа шаров, расположенных в виде квадрата или пятиугольника, выражаются соответствующими квадратными или пеитагональными числами. Относительно фигурных чисел справедлива следующая теорема, высказанная П. Ферма (P. Fermat) и доказанная впервые О. Коши (A. Cauchy): любое натуральное число можно представить в виде суммы не более, чем kfc-угольных чисел.

Лит.:[1] Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1, М.-Л., 1947; Г2] Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939. БСЭ-2.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985