Математическая энциклопедия - арифметическая функция

теоретико-числовая функция,комплекснозначная функция, областью определения к-рой может служить одно из множеств: множество натуральных чисел, множество целых рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебранч. числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. п. Это А. ф. в широком смысле. Однако часто под А. ф. понимается функция указанного типа, обладающая нек-рымн специальными арифметич. свойствами. Наиболее употребительные А. ф. имеют традиционные символич. обозначения: Эйлера функция, или делителей число, Мёбиуса функция, Манголъдта функция, - сумма делителей числа п. К А. ф. относят также целую часть числа и дробную часть числа . Изучаются А. ф., выражающие число решений уравнения; напр., число решений в целых числах . уравнения в Гольдбаха проблеме: - число решений в простых числах уравнения Другие А. ф. выражают количество чисел с к.-л. условиями; напр., функция число простых чисел, не превосходящих х, характеризует распределение простых чисел; число не превосходящих хпростых чисел в арифметич. прогрессии Со свойствами простых чисел связаны также Чебышева функции: - сумма натуральных логарифмов простых чисел до и В алгебраич. теории чисел рассматриваются обобщения названных А. ф. натурального аргумента.

Напр., в алгебраич. поле Кстепени пдля целого идеала вводится функция Эйлера число классов вычетов по идеалу , взаимно простых с

А. ф. возникают и используются при изучении свойств чисел. Однако теория А. ф. представляет и самостоятельный интерес. Закономерность изменения А. .