Математическая энциклопедия - арифметический род

численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. многообразия X(над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность пи к-рое определяется однородным идеалом I в кольце , арифметический род выражается через свободный член Гильберта многочлена идеала по формуле

Это классич. определение восходит к Ф. Севери (F. Severi, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следующему:

где

эйлерова характеристика многообразия X с коэффициентами в структурном пучке . В такой форме определение А. р. переносится на любые полные алгебраич. многообразия, а также показывает инвариантность относительно бирегулярных отображений. В случае, когда X - неособое связное многообразие, а есть поле комплексных чисел,

где размерность пространства регулярных дифференциальных k-форм на Х. При такое определение было принято в школе итальянских геометров. Напр., если n=1, то есть род кривой X;если n=2, то

где qиррегулярность поверхности геометрический род поверхности X.

Для любого дивизора на нормальном многообразии XО. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение виртуального арифметического рода как свободного члена многочлена Гильберта когерентного пучка , соответствующего дивизору D. Если дивизоры алгебраически эквивалентны, то

А. р. есть бирациональный инвариант в случае поля kнулевой характеристики; в общем случае этот факт доказан (к 1977) лишь для размерности

Лит.:[1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973. И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985