Математическая энциклопедия - кинетическое уравнение

уравнение неравновесной статистпч. физики, используемое в теории газов, аэродинамике, физике плазмы, теории прохождения частиц через вещество, теории переноса излучения. Решение К. у. определяет функцию распределения дпнамич. состояний одной частицы, обычно в зависимости от времени, координаты и скорости.

В 80-х гг. 19 в. Л. Больцман (L. Boltzmann) сформулировал основное К. у. теории газов нелинейное интегро-дифференциальное уравнение (см. Больцмана уравнение), к-рое описывает движение молекул как нек-рый случайный процесс, определяемый механизмом бинарных соударений молекул. Входящие в уравнение коэффициенты (эффективные сечения) рассчитываются из уравнений классич. механики. Исследуя свойства решений кинетич. уравнения, Л. Больцман дал молекулярно-кинетич. истолкование второго начала термодинамики и установил статистич. смысл понятия энтропии (см. Больцмана H-meope.ua). В квантовой статистич. физике в простейшем случае уравнение Больцмана записывается аналогично классич. случаю, но с использованием квантовых эффективных сечений и с учетом требований симметрии. Для релятивистского газа уравнение Больцмана формулируется в ковариантном виде. Развит метод получения К. у. теории газа, учитывающий корреляции между динамич. состояниями молекул (см. Боголюбова цепочка уравнений). Исходя из Лиувилля уравнения, этим методом можно в низшем приближении получить уравнение Больцмана, если использовать разложения по степеням плотности газа.

Разложение по степеням малости энергии взаимодействия приводит к Власова кинетическому уравнению с самосогласованным полем, а в следующем приближении в пространственно однородном случае к кинетическому уравнению Ландау, описывающему так наз. "диффузию в пространстве скоростей".

Известно небольшое число точных решений нелинейного К. у. Его численные решения трудны и при использовании ЭВМ. Более исследовано линеаризованное К. у., описывающее малые отклонения от равновесного решения нелинейного уравнения. По форме оно совпадает с линейными уравнениями переноса, возникающими в теории переноса излучения и нейтронов (см. Переноса излучения теория), а также в теории прохождения частиц через вещество.

Теория переноса излучения по своим задачам и методам их решения близка к теории переноса нейтронов. Расчет ядерных реакторов и защиты от ядерных излучений потребовал создания эффективных методов решения К. у. переноса нейтронов и гамма-квантов, а также способствовал созданию математич. теории линейного К. у. Если для нелинейного уравнения Больцмана теоремы существования и единственности решения и его асимптотич. поведение исследованы лишь в простейших случаях [1], то для линейного уравнения они получены в самой общей постановке математической теории ядерных реакторов [2], [3], [4]. Ряд задач решается аналитическими методами, в общем случае разработаны многочисл. приближенные методы решения, приспособленные для удобного программирования на ЭВМ (см. Переноса уравнения, численные методы решения).

Задача о прохождении заряженных частиц через вещество сводится часто к решению линейного уравнения переноса при анизотропном рассеянии или к решению линеаризованного уравнения Ландау (напр., при определении, углового распределения частиц, вылетающих с поверхности тела, или при определении энергетич. спектра заряженных частиц в веществе).

Лит.:[1] Карлеман Т., Математические задачи кинетической теории газов, пер. с франц., М., 1960; [2] Владимиров В. С, "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1961, № 61; [3] Шихов С. Б., Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ, М., 1973; [4] Кейз К., Цвайфель П., Линейная теория переноса, пер. с англ., М., 1972; [5] Коган М. Н., Динамика разрешенного газа (кинетическая теория), М., 1967; [6] Силин В. П., Введение в кинетическую теорию газов, М., 1971; [7] Соболев В. В., Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, М., 1956.

В. А. Чуянов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985