Математическая энциклопедия - лорана ряд

обобщение степенного ряда по целым неотрицательным степеням разности z-а или по целым неположительным степеням z-а в виде

Ряд (1) понимается как сумма двух рядов:

главная часть Л. р. Ряд (1) считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Свойства Л. р.: 1) если область сходимости Л. р. содержит внутренние точки, то она представляет собой круговое кольцо

с центром в точке ; 2) во всех внутренних точках кольца сходимости Dряд (1) сходится абсолютно; 3) как и для степенных рядов, поведение Л. р. в точках граничных окружностей может быть самым разнообразным; 4) на любом компактном множестве ряд (1) сходится равномерно; 5) сумма ряда (1) в Dесть аналитич. функция f(z); 6) ряд (1) можно дифференцировать и интегрировать в Dпочленно; 7) коэффициенты с k Л. р. определяются через его сумму f(z) формулами

где любая окружность с центром а, расположенная в D;8) разложение в Л. р. единственно, т. е. если в D, то все коэффициенты их Л. р. по степеням z-асовпадают.

Для случая центра в бесконечно удаленной точке Л. р. принимает вид

причем теперь правильной частью является а главной

Область сходимости ряда (3) имеет вид

а формулы (2) переходят в формулы

где В остальном все свойства те же, что и в случае конечного центра а.

Применение Л. р. основано главным образом на теореме Лорана (1843): любая однозначная аналитич. функция f(z) в кольце представима в Dсходящимся Л. р. (1). В частности, в проколотой окрестности

изолированной особой точки а однозначного характера аналитич. функция f(z) представима Л. р., к-рый и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки.

Для голоморфных функций f(z) многих комплексных переменных аналогом теоремы Лорана можно считать следующее предложение: всякую функцию f(z), голоморфную в произведении Dколец можно представить в Dв виде сходящегося кратного Л. р.

в к-ром суммирование распространяется на все целочисленные мультииндексы

где произведение окружностей

Область сходимости ряда (4) логарифмически выпуклая и является относительно полной кратно круговой областью. Однако применение кратных Л. р. (4) ограничено, поскольку при голоморфные функции f(z) не могут иметь изолированных особенностей.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 4; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 1, гл. 2, ч. 2, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985