Математическая энциклопедия - лупа

аналитическая аналитическое многообразие М, наделенное структурой Л., основные операции к-рой (умножение, левое и правое деление) являются аналитич. отображениями в М. Если е - единица лупы М, g(t), h(t) - аналитич. пути, выходящие из еи имеющие в точке екасательные векторы а, b, то касательный вектор с= аb в е к пути k(t), где

есть билинейная функция векторов а, b. Касательное пространство Т(М).в точке ес операцией умножения c=ab наз. касательной алгеброй Л. М'. Координаты в нек-рой окрестности Uэлемента е=(0,. . ., 0) наз. каноническими 1-го рода, если для любого вектора a=( а ¹, . . ., а ⁿ) кривая является локальной однопараметрич. подгруппой с касательным вектором ав точке е(см. [1]). Аналитич. Л. с ассоциативными степенями обладает канонич. координатами 1-го рода [2]. В этом случае отображение (1), определенное для достаточно малых а, позволяет отождествить Uс окрестностью начала координат в Т(М).и наделить Т(М).строением локальной аналитич. лупы М 0. Если аналитич. лупа Мальтернативна, т. е. любые два ее элемента порождают подгруппу, то касательная алгебра Т(М).бинарно лиева, а умножение в М 0 выражается Кэмпбелла Хаусдорфа формулой. Любая конечномерная бинарно лиева алгебра над полем есть касательная алгебра одной и (с точностью до локальных изоморфизмов) только одной локальной альтернативной аналитич. Л. [1].

Наиболее полно изучены аналитические Муфанг лупы. Касательная алгебра аналитич. лупы Муфанг удовлетворяет тождествам

где

такие алгебры наз. алгебрами Мальцева. Обратно, любая конечномерная алгебра Мальцева над R является касательной алгеброй нек-рой односвязной аналитич. лупы Муфанг М, определенной однозначно с точностью до изоморфизма (см. [2], [3]). Если М' - связная аналитич. лупа Муфанг с той же касательной алгеброй и, следовательно, локально изоморфная М, то существует эпиморфизм ядро к-рого H есть дискретная нормальная подгруппа в М;при этом фундаментальная группа p( М').пространства М' изоморфна N. Если локальный гомоморфизм односвязной аналитич. лупы Муфанг Мв связную аналитич. лупу Муфанг М', то j однозначно продолжается до гомоморфизма М в М'. Пространство односвязной аналнтич. лупы Муфанг с разрешимой касательной алгеброй Мальцева аналитически изоморфно евклидову пространству (см. [3]).

Лит.:[1] М а л ь ц е в А. И., "Матем. сб.", 1955, т. 36, в. 3, с. 569-76; [2] Кузьмин Б. Н., "Алгебра и логика", 1971, т. 10, в. 1, с. 3-22; [3] К е р д м а н Ф. С.,"Докл. АН СССР", 1979, т. 249, в. 3, с. 533 36. Е. Н. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985