Математическая энциклопедия - лузина n-свойство

"н у л ь с в о й с т в о", функции f(x), непрерывной на отрезке [ а, b]:для любого множества с мерой mes E=0образ этого множества f(E).также имеет меру нуль. Введено Н. Н. Лузиным в 1915 (см. [1]). Имеют место следующие утверждения.

1) Функция на [a, b] такая, что f'(x) = 0 почти всюду на [ а, b], не обладает Л. N-c.

2).Если f(x).не обладает Л. N-c., тона [ а, b] существует совершенное множество Рмеры нуль такое, что mes f(P)>0.

3) Абсолютно непрерывная функция обладает Л. N-c.

4) Если f(x).обладает Л. N-c. и имеет на [ а, b]ограниченное изменение, то f абсолютно непрерывна на [a, b](теорема Банаха Зарецког о).

5) Если f(x) не убывает на [a, b], причем f'(х).конечна на [ а, b], то f обладает Л. N-c.

6) Для того чтобы для любого измеримого множества множество f(Е).было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы f обладала на [a, b]Л. N-c.

7) Функция f(x), обладающая Л. N-c, имеет f(x).на множестве, любая непустая порция к-рого имеет положительную меру.

8) Для любого совершенного нигде не плотного множества существует функция f(x), обладающая Л. N-c. на [a, b], у к-рой f'(x).не существует в каждой точке множества Р.

Понятие Л. N-c. обобщается на функции многих переменных и функции более общей природы, определенные на пространствах с мерой.

Лит.:[1] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, 2 изд., М.-Л., 1951. А. А. Конюшков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985