Математическая энциклопедия - мопертюи принцип

принцип наименьшего действия, первая словесная формулировка к-рого дана П. Мопертюи (P. Maupertuis). Первоначально (1744) П. Мопертюи вывел из М. п. законы отражения и преломления света, согласующиеся, по его словам, "с важным принципом, по к-рому природа при осуществлении своих действий идет всегда наиболее простыми путями" (см. [1]), а затем (1746) объявил его универсальным законом движения и равновесия: "Общий принцип. Когда в природе происходит нек-рое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, к-рое они пробегают" (см. [2]). Универсальность М. п. обосновывалась П. Мопертюи туманными рассуждениями метафизич. характера с помощью телеологич. и те-ологич. аргументов, к-рые в последовавшей затем дискуссии о М. п. вызвали резкие возражения со стороны ряда его современников. Кроме законов распространения света П. Мопертюи вывел из М. п. лишь известные законы удара тел и равновесия рычага. По мнению Ж. Лагранжа (J. Lagrange), "указанные применения носят слишком специальный характер, чтобы на них можно было построить доказательство общего принципа; кроме того, они несколько неопределенны и произвольны, что придает некоторую ненадежность и выводам, которые можно было бы сделать на основании их о точности самого принципа" (см. [3]).

Первая математич. идея принципа наименьшего действия для частного случая изолированных тел принадлежит Л. Эйлеру (L. Euler). Он показал (1744), что под действием центральных сил тела описывают траектории, для к-рых интеграл достигает минимума или максимума (см. [4]); здесь -скорость,элемент кривой.

Для общего случая движения любой системы тел, действующих одно на другое каким угодно образом так, что полная механич. энергия системы сохраняется, принцип наименьшего действия установил Ж. Лагранж (1760). Исходя из законов механики, он доказал, что сумма произведений масс на интегралы скоростей, умноженных на элементы пройденных путей, является всегда максимумом или минимумом (см. [5]), т. е.

"Этот принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам вариационного ивчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь же простой, как и общий, метод разрешения проблем, касающихся движения тел" (см. [3]).

Принцип наименьшего дехгетвия в форме Лагранжа (Лагранжа принцип )принято математически записывать в форме равенства (14) (см. Вариационные принципы классической механики). Исключением времени из (14) с помощью интеграла энергии (13) К. Якоби (С. Jacobi, 1837) представил принцип наименьшего действия в форме (16) (см. также Якоби принцип).

Лит.:[1] Мопертюи П., в кн.: Вариационные принципы механики, М., 1959, с. 23-30; [2] его же, там же, с. 41-55; [3] Лагранж Ж., Аналитическая механика, пер. с франц., т. 1, М.Л., 1950; [4] Эйлер Л., в кн.: Вариационные принципы механики, М., 1959, с. 31 40; [я] Lagrange J., (Euvres, t. 1, p., 1867, p. 335-62; [6] Jасоbi С, "С. r. Acad. sci.", 1837, t. 5, p. 61-67.

В. В. Румянцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985