Математическая энциклопедия - недифференцируемая функция

функция, не имеющая дифференциала. В случае функций одного переменного Н. ф.это функция, не имеющая производной. Напр., функция не дифференцируема в точке , вместе с тем она дифференцируема в этой точке как слева, так и справа, т. е. имеет в этой точке левую и правую производные. Непрерывная функция при и не только не дифференцируема в точке , но и не имеет в этой точке производной (ни конечной, ни бесконечной) ни справа, ни слева.

Первые примеры непрерывных на всей числовой оси функций, во всех точках, не имеющих конечных производных, были указаны Б. Больцано (В. Bolzano) в 1830 (опубл. в 1930) и К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в I860 (опубл. в 1872). Функция Вейерштрасса задается рядом

где нечетное натуральное число,. Более простой пример, основанный на той же идее, в к-ром периодич. функции типа заменены периодич. ломаными, был построен Б. Л. Ван дер Варденом (В. L. Van der Waerden). Пусть и о (х)функция, равная для каждого действительного числа х

абсолютной величине разности между числом хи ближайшим к нему целым числом. Эта функция линейна на каждом отрезке вида [n/2, (n+1)/2], где пцелое; она непрерывнаи имеет период, равный единице. Пусть

тогда функция Ван дер Вардена задается равенством

Эта функция непрерывна на всей числовой оси и ни в одной точке не имеет конечной производной. Первые три частные суммы полученного ряда изображены на рисунке.

Для функций более одного переменного дифференцируемость в точке не эквивалентна существованию в этой точке частных производных; существуют недифференцируемые функции, имеющие частные производные. Напр., функция

во всех точках плоскости непрерывна и имеет частные производные, однако в точке (0, 0) не дифференцируема.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985