Математическая энциклопедия - недезаргова геометрия

геометрия на плоскости, в к-рой Дезарга предложение может не иметь места. В этом случае плоскость наз. недезарговой плоскостью. Теорема Дезарга не может быть доказана в плоскости на основе лишь проективных аксиом плоскости без привлечения аксиом конгруэнтности (метрических аксиом) или без привлечения пространственных аксиом. Напр., в геометрии плоскости, построенной на основе всех плоскостных аксиом системы Гильберта, за исключением аксиомы конгруэнтности треугольников, теорема Дезарга не может быть получена как их следствие. Геометрия этой плоскости является недезарговой, она не может рассматриваться как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы системы Гильберта, кроме указанной аксиомы конгруэнтности. Недезаргова проективная 2-плоскость не вкладывается в проективные пространства высших размерностей (см. ,[1], [4], [5]).

Возможность построения Н. г. плоскости позволяет выяснить независимость различных групп аксиом системы Гильберта, а также выяснить роль теоремы Дезарга как независимой дополнительной аксиомы плоской проективной геометрии (см. [2]).

Рассматриваются и так наз. недезарго вы системы, в к-рых теорема Дезарга не выполняется как конфигурационное предложение (см. Конфигурация). Недезарговы системы существуют, в частности, на нек-рых поверхностях и вообще на нек-рых римано-вых многообразиях, являющихся прямыми пространствами. Простой пример дает параболоид z=xy, на к-ром недезаргову систему образуют точки и соединяющие их кратчайшие. Другой пример дает тор: существуют его метризации без сопряженных точек, в к-рых геодезические универсального накрывающего пространства образуют недезаргову систему (см. также [5], [6]).

Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.Л., 1948; [2] Скорняков Л. А., "Успехи матем. наук", 1951, т. 6, в. 6, с. 112-54; [3] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; И Mohrmann H., Festschrift D. Hilbert, В., 1922; .[5] Bieberbach L., Einleitung in die hohere Geometrie, Lpz.В., 1933: [6] Narауаna Rао M. L., Kuppuswamy Rao K., "J. Combin. Theory, Ser. A", 1975, v. 19, p. 247 55.

Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985