Математическая энциклопедия - неванлинны теоремы

две основные теоремы, доказанные Р. Неванлинной (см. [1], [2]) и лежащие в основе теории распределения значений мероморфных функций (см. Распределения значений теория). Пусть мероморфная функция в круге

при этом случай означает, что функция f(z) мероморфна во всей открытой комплексной плоскости. Для каждого функция приближения к числу аопределяется так:

а считающая функция числа а-точек f(z) определяется формулой

где означает число а-точек f(z), с учетом их кратностей, попавших в круг ... Функция ... наз. неванлинновской характеристикой функции . Первая теорема Неванлинны. Для произвольной мероморфной в круге KR функции f(z), для каждого r,, и для любого комплексного числа авыполняется соотношение

где

а созначает первый отличный от нуля коэффициент в ряде Лорана в окрестности нуля функции f(z)-a, если и функции f(z), если Таким образом, для функций с неограниченно растущей при характеристикой сумма для различных значений а, с точностью до ограниченного слагаемого сохраняет значение . В этом смысле все значения адля произвольной мероморфной в круге функции являются равноправными значениями. По этой причине в теории распределения значений мероморфных функций интересуются вопросами асимптотич. поведения одного слагаемого или в инвариантной сумме (1).

Вторая теорема Неванлинны показывает, что в сумме (1) для почти всех точек аосновную роль играет функция I. Эта теорема утверждает следующее. Для произвольной мероморфной в круге функции и для каждых различных чисел из расширенной комплексной плоскости имеет место соотношение

где

а величина обладает следующими свойствами.

1) Если , т. е. f(z)мероморфна во всей открытой комплексной плоскости, то при

для всех значений r, за возможным исключением некоторого множества Етакого, что

2) Если , то при

для всех значений r, за возможным исключением, некоторого множества Етакого, что

Функция не убывает с ростом r, поэтому правая часть в соотношении (2) при вне нек-рого исключительного множества Ене может возрастать быстрее, чем 2T(r, f).

Лит.:[1] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.-Л., 1941; [2] Nеvanlinna R., Le Theoreme de Picard-Borel et la theorie des fonctions meromor-phes, P., 1929; [3] Weуl H., Weуl J., Meromorphic functions and analytic curves, Princeton, 1943; [4] Alilfors L., "Acta Soc. scient. fennica. Nova ser. A", 1941, v. 3, № 4, p. 1-31; [5] Сartan H., "Mathematica" (GluJ), 1933, v. 7, p. 5-31; [6] Гриффите Ф., Кинг Д ж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976; [7] Петренко В. П., Рост мероморфных функций, Хар., 1978.

В. П. Петренко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985