Математическая энциклопедия - нильпотентная группа

группа, обладающая нормальным рядом

таким, что каждый его фактор лежит в центре факторгруппы (такой ряд наз. центральным). Длина наиболее короткого центрального ряда Н. г. наз. ее классом (или ступенью) нильпотентности. В любой Н. г. нижний (а также верхний) центральный ряд (см. Подгрупп ряд). обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы.

Конечные Н. г. исчерпываются прямыми произведениями р-групп, т. е. групп порядков , где рпростое число. В любой Н. г. элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по к-рой не имеет кручения. Конечно порожденные Н. г. без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали п их подгруппами. Любая конечно порожденная Н. г. без кручения аппроксимируется конечными р-группамп для любого простого р. Конечно порожденные Н. г. являются полициклическими, группами, более того, они имеют центральный ряд с циклич. факторами.

Все Н. г. класса нильпотентности не больше с образуют многообразие (см. Групп многообразие), определяемое тождеством

Свободные группы этого многообразия наз. свободными нильпотентными группами. О пополнении Н. г. без кручения см. Локально нилъпотентная группа.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 2 изд., М., 1977. А. Л. Шмелькин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985