Математическая энциклопедия - нильалгебра

алгебра с ассоциативными степенями (в частности, ассоциативная), в к-рой всякий элемент нильпотентен. Частным случаем Н. являются нильпотентная и локально нильпотентная алгебра. В ассоциативном случае построение Н., не являющихся локально нильпотентными, представляет собой трудную задачу; по существу известен лишь один пример такой алгебры (см. [5]).

Класс Н. замкнут относительно взятия гомоморфных образов и перехода к подалгебрам. Кроме того, расширение Н. с помощью Н. снова оказывается Н. Поэтому во всякой алгебре сумма всех нильидеалов является наибольшим нильидеалом, содержащим всякий ниль-идеал. Он наз. верхним нильрадикалом алгебры, факторалгебра по нему не содержит ненулевых нильидеалов. Вопрос о том, будет ли сумма односторонних нильидеалов односторонним нильидеалом, составляет содержание проблемы Кёте. Неизвестно также (1982), существуют ли простые нилькольца. Выполнение условий "бернсайдовского типа" для Н. часто влечет ее нильпотентность или локальную нильпотентность; нётерова Н. нильпотентна; артинова Н. (пчастности, конечномерная) нильпотентна; Н. ограниченного индекса (индексы нильпотентности элементов ограничены в совокупности) над полем нулевой характеристики нильпотентна (теорема Xигмена); Н., удовлетворяющая полиномиальному тождеству, локально нильпотентна. Не выяснено (1982), будет ли нильпотентной конечно определенная нильалгебра.

Особый интерес представляют условия, при к-рых радикал Джекобсона Bad Аалгебры Анад полем ксовпадает с нильрадикалом. Вот нек-рые из них: Аартинова, в частности конечномерная, алгебра (Bad Aдаже нильпотентен);, в частности если Аконечно порождена над kи kнесчетно; алгебраич. алгебра А; А конечно порожденная над калгебра с полиномиальным тождеством и кбесконечно. Радикал конечно порожденной алгебры с полиномиальным тождеством над полем нулевой характеристики нильпотентен. Этот факт эквивалентен условию выполнимости в такой алгебре нек-рого стандартного тождества.

Некоторые из сформулированных утверждений имеют аналоги в неассоциативных алгебрах. Так, в альтернативном кольце с условием максимальности для правых идеалов, не имеющем элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, всякий односторонний нильидеал нильпотентен. В йордановой алгебре А над полем крадикал Джекобсона Rad Аявляется нильидеалом, если выполнено одно из следующих условий:алгебраич. алгебра. Всякое альтернативное или специальное йорданово нилькольцо ограниченного индекса без элементов 2-го порядка в аддитивной группе локально нильпотентно (теорема Ширшова). Конечномерная обобщенно стандартная Н. нильпотентна.

Всякая антикоммутативная алгебра является Н. в определенном выше смысле, поэтому в классе антикоммутативных колец понятие Н. бессодержательно. Однако полезными оказываются различные аналоги этого понятия. Так, в классе колец Ли аналогом Н. являются энгелевы алгебры, т. е. алгебры, в к-рых внутренние дифференцирования элементов нильпотентны. Энгелева алгебра не обязана быть локально нильпотентной, однако если индексы нильпотентности внутренних дифференцирований ограничены в совокупности и основное поле имеет нулевую характеристику, то энгелева алгебра локально нильпотентна. Неизвестно (1982), будет ли она при этих ограничениях нильпотентной (проблема Хиггинса).

Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Xерстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [3] Кострикин А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1957, т. 21, № 4, с. 515-40; [4] Ширшов А. И., "Матем. сб.", 1957, т. 41, №3, с. 381-94; [5] Голод Е. С, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, № 2, с. 273-76; [6] Higman G., "Ргос. Cambr. Phil. Soc", 1956, v. 52, p. 1-4; [7] Higgins P., там же, 1954, v. 50, p. 8-15; [8] Жевлаков К. А., "Алгебра и логика", 1967, т. 6, №4, с. 11 -17; [9] McGrimmon К., "Рrос. Nat. Acad. Sci. USA", 1969, v. 62, № 3, p. 671 78.

В. Н. Латышев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985