Математическая энциклопедия - ниль потентный идеал

односторонний или двусторонний идеал Мкольца или полугруппы с нулем Атакой, что для нек-рого натурального пвыполняется , т. е. произведение любых пэлементов идеала Мравно нулю. Напр., в кольце вычетов по модулю , где рнек-рое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В групповом кольце конечной р-группы Gнад полем из рэлементов идеал, порожденный элементами вида , где , нильнотентен. В кольце верхних треугольных матриц пад пек-рым полем матрицы, у к-рых на главной диагонали стоят нули, образуют Н. и.

Любой элемент Н. п. нильпотентен. Любой Н. и. является одновременно нильидеалом и содержится в радикале Джекобсона кольца. В артиновых кольцах радикал Джекобсона нильпотентен, и понятия Н. и. и нильидеала совпадают. Последнее свойство справедливо и для нётеровых колец. В нётеровом слева кольце любой левый (правый) нильидеал нильпотентен.

Все Н. и. коммутативного кольца содержатся в нильрадикале, к-рый в общем случае может быть не нильпотентным, а лишь нильидеалом. Простой пример такой ситуации доставляет прямая сумма колец по всем натуральным п. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент а содержится в нек-ром Н. п., напр, в главном идеале, порожденном а. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, к-рые не содержатся ни в одном Н. п. (и даже нильидеале). Напр., в полном кольце матриц над полем имеются нильпотентные элементы, в частности нильпотентны упоминавшиеся выше матрицы, у к-рых ненулевые элементы стоят только над главной диагональю, но это кольцо просто и, следовательно, не имеет ненулевых Н. и.

В конечномерной алгебре Ли Gсуществует максимальный Н. и., состоящий из элементов для к-рых эндоморфизм для нильпотентен.

Лит.:[1] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [3] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977; [4] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [5] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985