Математическая энциклопедия - орлича класс

множество функций LM, удовлетворяющее условию

где G - ограниченное замкнутое множество в , мера Лебега, М(и) - четная выпуклая функция, возрастающая при положительных и, и

Такие функции наз. N-функциями. Функция М(и).допускает представление

где p(v)=M'(v).не убывает на полуоси,

p(0)>0 при v>0. Функции М(и).и

где р ^-1(v) - обратная к p(v).функция, наз. дополнительными функциями. Напр., если

,

где 1/р+1/p'=1. Для пары дополнительных функций справедливо неравенство Юнга:

Функция М(и).удовлетворяет D2 -условию, если существуют такие Си и 0, что М(2и)CM(u) для всех . О. к. линеен тогда и только тогда, когда М(и).удовлетворяет D2 -условию. Из Иенсена неравенства вытекает выпуклость LM.

Пусть М 1 (и)и М 2(u) - две N-функции. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы для нек-рого Си достаточно больших и.

О. к. рассмотрены В. Орличем и 3. Бирнбаумом [1].

Лит.:[1] Вirnbaum Z., Оrlicz W., "Studia math.", 1931, v. 3, p. 1-67; [2] Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б., Выпуклые функции и пространства Орлича, М., 1958. Е. М. Семенов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985