Математическая энциклопедия - орлича пространство

банахово пространство измеримых функций; введено В. Орличем [1]. Пусть М(и).и N(и) - пара дополнительных N-функций (см. Орлича класс).и G - ограниченное замкнутое множество в . Пространством Орлича наз. множество измеримых относительно меры Лебега фуниций на G, на к-рых

О. п.полнее нормированное пространство относительно нормы || х||M, к-рая наз. нормой Орлича. Когда М(и)=иР,, то совпадает с Рисса пространством Lp и с точностью до скалярного множителя || х||M совпадает с ||x||Lp.

Если M1(u).и M2(u).суть N-функции, то вложение имеет место тогда и только тогда, когда для нек-рого Си всех достаточно больших ивыполнено неравенство . Для любого О. и. справедливы вложения . Всякая суммируемая функция принадлежит нек-рому О. п.

Пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда М(и).удовлетворяет D2 -условию. В общем случае не плотно в и замыкание в обозначается через Е M, оно всегда сепарабельно. Если , то

где

Если М(и).и N(и) - дополнительные N-функции и , , то справедлив аналог Гёлъдера неравенства

где ||x||(M) Люксембурга норма. Всякий непрерывный линейный функционал f на Е M представим в виде

где и ||f||= ||у||(N)

Критерии компактности М. Рисса (М. Riesz) и А. Н. Колмогорова для пространств Lp переносятся на Е М. Следующие условия эквивалентны: 1) пространство рефлексивно; 2) М(и).и N(и).удовлетворяют D2 -условию; 3) в существует безусловный базис;

4) Хаара система образует безусловный базис в ;

5) тригонометрич. система базис в . Система Хаара базис в ЕМ.

Аналогичным образом определяется пространство последовательностей , однако свойства пространства зависят от асимптотики функции М(и).в 0. Изучены [5] многие геометрич. свойства пространств и ;напр., для любой функции М(и).находится множество всех таких р, что l р изоморфно вкладывается в .

О. п. применяются при изучении свойств интегральных операторов, в теории дифференцируемых функций многих переменных и в других разделах анализа.

Лит.:[1] Orlicz W. , "Bull, intern. Acad. Pol. Ser. A", 1933 (annee 1932), p. 207-20; [2] Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б., Выпуклые функции и пространства Орлича, М., 1958; [3] Гапошкин В. Ф., "Функц. анализ и его прилож.", 1967, т. 1, № 4, с. 26-32; [4] Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М., Интерполяция линейных операторов, М., 1978; [5] Lindenstrauss J.,Tzafriri L., Classical Banach Spaces, v. 1 2, В.Hdlb.N. Y., 1977-79.

Е. М. Семенов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985