Математическая энциклопедия - выпуклость

термин, используемый в разных разделах математики и указывающий на свойства, обобщающие отдельные свойства выпуклых множеств в евклидовых пространствах Е ⁿ. С термином "В." ассоциируется применимость ряда приемов исследования.

В Е ⁿ эквивалентны следующие два основных определения. Множество выпукло: а) если оно есть пересечение открытых полупространств; б) если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Оба определения В. переносятся на случай векторных пространств L.

Определение б) распространяют на множества в пространствах с геодезическими (пространства со связностью; локально компактные метрнч. пространства, в частности римановы и финслеровы пространства). При этом роль отрезков играют геодезические; но если две точки соединимы не единственной геодезической или кратчайшей, то понятие "В." разветвляется. В рпмановой геометрии употребительны, в частности, следующие варианты В. (см. [1]; [2]): 1) множество Мвыпукло, если каждые две точки из Мсоединимы единственной кратчайшей и она лежит в М;2) множество Млокально выпукло, если каждая точка из Мимеет выпуклую в смысле 1) окрестность в М;3) множество M слабо выпукло, если каждые две точки соединимы хотя бы одной кратчайшей, идущей в М;4) множество Мабсолютно выпукло, если для каждых двух точек в Млежат все соединяющие их геодезические.

В Е ⁿ границу (или часть границы) n-мерного выпуклого тела наз. выпуклой гиперповерхностью, при n=3 выпуклой поверхностью, при n=2 выпуклой кривой.

Для функции действительного переменного В. означает В. се надграфика (см. Выпуклая функция действительного .переменного). Аналогично определяют В. функционала f в L(см. Выпуклый функционал).

Для вьшуклых множеств в L можно говорить о В. семейства множеств, требуя, чтобы из условия , следовало

На выпуклых семействах определяют выпуклые (п вогнутые) функционалы Ф(М). Выпуклость функционала определяется требованием

Термин "В." для однолистных функций комплексной переменной имеет особый смысл свойство отображать единичный круг в выпуклую область (см. Выпуклая функция комплексного переменного).

Из обобщений В. в рассматривалась R - выпуклость компакта M, означающая, что каждая точка, удаленная от Мменее чем на R, имеет в М. единственную ближайшую (см. [4], [5]).

В теории линейных дифференциальных операторов термин "В." связывают с нек-рыми свойствами групп гомологии [6]. Это ассоциируется с возможностью коснуться границы изнутри области гиперповерхностью, у к-рой определенное число главных кривизн положительно. В теории функций многих комплексных переменных важную роль играет голоморфная выпуклость, связанная с невозможностью коснуться границы области изнутри аналитич. оверхностью [7]. Последнее понятие есть частный случай так наз. К- выпуклости (см. [7]. с. 6). В схему K-выпуклости укладываются многие из перечисленных понятий В.

В выпуклом анализе используют понятие Н - выпуклости, обобщающее представимость выпуклой функции как супремума семейства линейных функций [8].

В теории метрич. пространств выпуклость метрики (по Менгеру) определяется как существование для любых точек отличной от них точки, для к-рой (см. [9]). Под d - выпуклость ю множества Мпонимают принадлежность Млюбой такой точки при Весьма близки к этому определения В. в пространствах с упорядочением (см., напр., Выпуклая подгруппа).

Почти каждому определению В. соответствует связанное с ним понятие локальной В. Но при выделении класса локально вьшуклых векторных топологич. пространств термин "локальная В." имеет особый смысл, означая существование у каждой точки базисной системы выпуклых окрестностей.

Лит.: [1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Александров А. Д., 3алгаллер В. А., Двумерные многообразия ограниченной кривизны [Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 63], М., 1962; [3] Xадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., М., 1966; [4] Fеderer Н., "Trans. Amer. Matli. Soc.", 1959, v. 93, №3, p. 418-91; [5] Решетник Ю. Г., "Матем. сб.", 1956, т. 40, с. 381-98; [6] Паламодов В. П., Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, М., 1967; [7] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [8] Кутателадзе С. С., Рубинов A.M., "Успехи матем. наук", 1972, т. 27, № 3, с. 127 176; [91 Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В., Теорема Хелли и ее применения, пер. с англ., М., 1968. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985