Математическая энциклопедия - выпуклый функционал

функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал f, не принимающий значений, равных на выпуклом множестве А, будет выпуклым на Атогда и только тогда, когда выполняется неравенство

При обратном знаке неравенства функционал f наз. вогнутым. Операциями, переводящими В. ф. в В. ф., являются, напр., сложение

умножение на положительное число, взятие верхней грани

инфимальная конволюция

В. ф., ограниченный сверху в окрестности нек-рой точки х, является непрерывным в этой точке. Если В. ф. конечен в нек-рой точке х, то он имеет производную по любому направлению (конечную или бесконечную) в этой точке. Замкнутые В. ф. (т. е. функционалы с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклых линейных топологич. пространствах допускают двойственное описание: они являются верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая двойственность позволяет связать с каждым В. ф. двойственный объект, сопряженный функционал:

Свойства В. ф., операции над ними, взаимосвязи В. ф. и их сопряженных и т. п. изучаются в выпуклом анализе.

Лит.:[1] Вurnbaum Z., Orlicz W., "Stud, math.", 1931, v. 3, p. 1-67; [2] Xapди Г., Литтльвуд Дж. Е., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] Красносельский М. А., Рутицкий Я. В., Выпуклые функции и пространства Орлича, М., 1958; [4] Fеnсhе1 W., "Can. J. Math.", 1949. v. 1, p. 73-77; [5] Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973. В. М. Тихомиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985