Математическая энциклопедия - выпуклая игра

бескоалиционная игра п лиц, в к-рой существует такое непустое множество игроков А, что для каждого игрока множество его чистых стратегий выпукло, а функция выигрыша ) вогнута по при всех значениях . Если функции выигрыша всех игроков в. В. и. непрерывны, а множества чистых стратегий компактны, то существует ситуация равновесия, в к-рой игроки множества А используют чистые стратегии. В. и. наз. конечной, если каждое компактно и содержитея в нек-ром евклидовом пространстве , а функции выигрыша полилинейны. В частности, конечная антагонистическая В. и. задается тройкой , где , , а функция K имеет вид

Если и размерности множеств оптимальных стратегий игроков I и II соответственно, а ранг матрицы , то Поэтому если матрица невырожденна, то . Конечные В. и. тесно связаны с вырожденными играми.

Пусть антагонистическая игра на единичном квадрате, функция выигрыша к-рой вогнута по при каждом и непрерывна на квадрате . Тогда игрок I имеет оптимальную чистую стратегию , а игрок II оптимальную меру (смешанную стратегию), носитель к-рой состоит не более чем из двух точек. Таким образом, можно получить нек-рую информацию о свойствах стратегий игроков в В. и., не принадлежащих множеству А. Естественным обобщением В. и. на единичном квадрате являются обобщенно-выпуклые игры, к-рые определяются тем, что для нек-рого п выполняется неравенство при . В этом случае, если условиться, что концевой точке отрезка приписывается вес 1/2, игрок I имеет оптимальную меру, носитель к-рой состоит не более чем из n/2 точек, а игрок II оптимальную меру, носитель к-рой состоит не более чем из пточек.

Лит.:[1] Никайдо X., Исода К., в кн.: Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 449-58; [2] Дрешер М., Карлин С., там же, с. 180-94; [3] Боненбласт X. Ф., Карлин С., Шепли Л. С., там же, с. 337-52. Г. Я. Дюбин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985