Математическая энциклопедия - выпуклая функция

комплексного переменногогрегулярная однолистная функция

в единичном круге , отображающая единичный круг на нек-рую выпуклую область. Регулярная однолистная функция является В. ф. тогда и только тогда, когда при обходе любой окружности касательная к образу в точке вращается в одном и том же направлении. Следующее неравенство выражает необходимое и достаточное условно выпуклости :

С другой стороны, для того чтобы была В. ф., необходимо и достаточно, чтобы она допускала следующее параметрич. представление:

где неубывающая действительная функция па отрезке такая, что

комплексные постоянные, Формулу (2) можно рассматривать как обобщение Кристоффеля Шварца формулы для отображения круга Ена выпуклые многоугольники.

Пусть класс всех В. ф. в Е, нормированных условиями суть подклассы класса , состоящие из функций, отображающих Есоответственно на выпуклые области плоскости wс р-кратной симметрией вращения относительно точки Классы компактны в себе относительно равномерной сходимости внутри Е. Их интегральные представления, в частности формула (2) для , позволяют развить вариационные методы решения экстремальных задач на классах (см. [2] [5]).

Основные экстремальные свойства класса характеризуются следующими неулучшаемыми неравенствами:

под аргументом функции понимается ветвь, обращающаяся в нуль при . Во всех этих оценках знак равенства имеет место только для функции' . Для отношения кривизны границы области на классе в точке к кривизне прообраза т. е. окружности , в точке z имеются также неулучшаемые оценки. Областям , принадлежит круг причем радиус этого круга не. может быть увеличен без дополнительных ограничений на класс функций. Если , то однолистная функция звездообразна в круге Е, т. е. отображает Ена область, звездную относительно начала координат.