Математическая энциклопедия - выпуклая поверхность

область (связное открытое множество) на границе выпуклого тела в евклидовом пространстве Е ³. Вся граница выпуклого тела наз. полной В. п. Если тело конечно, то полная В. п. наз. замкнутой. Если тело бесконечно, то полная В. п. наз. бесконечной. Бесконечная В. п. гомеоморфна либо плоскости, либо круговому цилиндру. В последнем случае она сама является цилиндром. Простейшее выпуклое тело выпуклый многогранник, т. е. пересечение конечного числа полупространств. Поверхность выпуклого многогранника составлена из выпуклых многоугольников и также наз. выпуклым многогранником.

Современная теория В. п. построена главным образом советскими геометрами А. Д. Александровым и его школой. Однако отдельные результаты теории В. п. были известны значительно раньше. Так, еще О. Коши (A. Cauchy) доказал неизгибаемость замкнутого выпуклого многогранника. Г. Либман (Н. Liebmann) и В. Бляшке (W. Blaschke) доказали жесткость замкнутых выпуклых поверхностей. Г. Минковский (Н. Minkow-ski) существование замкнутой В. п. с данной гауссовой кривизной. Г. Вейль (Н. Weyl) наметил решение проблемы существования замкнутой В. п. с данной метрикой. Это решение было завершено Г. Леви (Н. Lewy). С. Кон-Фоссен (S. Cohn-Vossen) доказал однозначную определенность регулярных замкнутых В. п.

С каждой точкой XВ. п. Fестественным образом связан конус V(X) - предел поверхностей Fn при пстремящейся к бесконечности, получаемых преобразованием гомотетии из Fотносительно точки Xс коэффициентом гомотетии п. Этот конус наз. касательным конусом. В зависимости от вида касательного конуса, точки В. п. подразделяются на конические, ребристые и гладкие. Точка В. п. наз. конической, если касательный конус в этой точке не вырождается. Если же касательный конус вырождается в двугранный угол или плоскость, точка наз. ребристо и или, соответственно, гладкой. Негладкие точки на В. п. представляют собой в нек-ром смысле исключение.

Именно, множество ребристых точек имеет меру нуль, а множество конических точек не более чел счетно.

Для последовательности В. п. определяется понятие сходимости: последовательность В. п. Fn сходится к В. п. F, если любое открытое множество Dодновременно пересекает или не пересекает Fи все при Любую В. п. можно представить как предел выпуклых многогранников. Бесконечные совокупности В. п. обладают важным свойством компактности, состоящим в том, что из любой последовательности полных В. п., не удаляющихся в бесконечность, всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность с пределом в виде В. п., к-рая может быть вырожденной (в дважды покрытую плоскую область, прямую, полупрямую или отрезок).

Любые две точки В. п. можно соединить спрямляемой кривой на поверхности. Точная нижняя грань длин кривых, соединяющих две данные точки на В. п., наз. расстоянием между этими точками на поверхности. Кривая на В. п. наз. кратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди всех кривых на поверхности, соединяющих ее концы. .У каждой точки В. п. есть окрестность, любые две точки к-рой можно соединить кратчайшей на поверхности. На полной В. п. любые две точки соединяются кратчайшей. Кратчайшая на В. п. имеет в каждой точке правую и левую полукасательные. Важнейшим свойством кратчайших на В. п. является свойство неналега-н и я. Оно состоит в том, что для взаимного расположения двух кратчайших могут быть только следующие возможности: кратчайшие не имеют общих точек; кратчайшие имеют одну общую точку; кратчайшие имеют две общие точки, являющиеся их концами; одна кратчайшая есть часть другой; кратчайшие совпадают на нек-ром отрезке, причем один конец этого отрезка является концом одной кратчайшей, а второй конец служит концом другой кратчайшей. Метрика В. п. обладает свойством выпуклости (см. Выпуклая метрика). Углом между кратчайшими и в точке О наз. предел угла при . Определяемый так угол существует для любых двух кратчайших, исходящих из общей точки. По свойству неналегания кратчайших, кратчайшие и , исходящие из точки О, разбивают окрестность этой точ:;и на два сектора. Пусть F один из этих секторов, ограниченный кратчайшими и . Проведем в этом секторе кратчайшие , занумеровав их в порядке следования от к . Пусть углы между соседними кратчайшими .Углом сектора V наз. точная верхняя грань суммы углов + по всем кратчайшим внутри сектора. Угол сектора равен углу между полукасательными к кратчайшим в точке Она развертке касательного конуса. Сумма углов взаимно дополняющих секторов с вершиной в точке Оне зависит от взятых кратчайших и наз. полным углом поверхности в точке О. Полный угол в любой точке В. п. не превышает

Для В. п. вводится понятие внутренней и внешней кривизны. Внутренняя кривизна определяется сначала для основных множеств точек, открытых кратчайших и треугольников. Треугбль-ником наз. гомеоморфная кругу область, ограниченная тремя кратчайшими. Если М - точка и полный угол вокруг нее на поверхности, то Если Моткрытая кратчайшая, т. е. кратчайшая с исключенными концами, то . Если М - открытый треугольник, т. е. треугольник с исключенными сторонами и вершинами, то , где углы треугольника. Далее кривизна определяется для элементарных множеств, представляемых в виде теоретико-множественной суммы попарно не пересекающихся основных: Для таких множеств . Внутренняя кривизна любого замкнутого множества определяется как точная нижняя грань внутренней кривизны элементарных множеств, содержащих данное замкнутое множество. Наконец, для любого множества внутренняя кривизна определяется как верхняя грань внутренней кривизны содержащихся в нем замкнутых множеств. Определяемая таким образом внутренняя кривизна на В. п. является вполне аддитивной функцией на кольце борелев-ских множеств. Внешняя кривизна множества на В. п. определяется как площадь (мера Лебега) сферического изображения этого множества. Она определена для всех борелевских множеств на В. п. и совпадает с внутренней кривизной.

Метрика двумерного многообразия наз. внутренней, если расстояние между любыми двумя точками многообразия равно точной нижней грани длин кривых в этом многообразии, соединяющих точки . При этом длина кривой соединяющей точки определяется как точная верхняя грань сумм

Пусть две кривые, исходящие из точки Ов многообразии с внутренней метрикой. Возьмем на них точки и построим плоский треугольник со сторонами . Нижний предел угла i этого треугольника, противолежащего стороне , наз. углом между кривыми и в точке О. Очевидно, этот угол всегда существует. Метрика многообразия наз. выпуклой, если для любого треугольника, стороны к-рого являются кратчайшими, сумма его углов не меньше . Метрика В. п.в этом смысле выпуклая. Одним из основных результатов теории В. п. является теорема о реализуемости внутренней выпуклой метрики на нек-рой В. п. Именно, полное многообразие с внутренней выпуклой метрикой реализуется полной В. п.