Математическая энциклопедия - жесткость

свойство подмногообразия Мв римановом пространстве V, заключающееся в том, что любая его избметрич. вариация (бесконечно малое изгибание )является тривиальной, т. е. соответствующее поле скоростей, z на М индуцируется полем Киллинга вектораz на М:где i: изо метрическое погружение М в V. Вопрос о Ж. подмногообразий по существу вопрос о единственности решения системы дифференциальных уравнений, являющихся линеаризацией основной системы уравнений теории поверхностей почти не исследован в случае, когда dim M>2 и dim V>3, однако и в простейшей ситуации (dim M=dim V-1=2) более или менее законченную теорию удается построить лишь для поверхностей положительной кривизны, расположенных в пространствах постоянной кривизны (см. Векуа метод). О Ж. поверхностей неположительной и переменной кривизны известны лишь отдельные результаты, причем на Ж. поверхности, помимо ее пространственной формы, оказивает влияние степень регулярности рассматриваемых деформаций.

Как правило, незамкнутая поверхность нежесткая, однако: 1) построены примеры поверхностей с уплощения точкой т, любая окрестность к-рой является жесткой или допускает бесконечно малые изгибания ограниченной регулярности; 2) существуют жесткие незамкнутые выпуклые поверхности с полной кривизной, равной 4p, окаймленные плоскими параболич. кривыми (части поверхностей типа Т).

На Ж. поверхности влияет то, насколько ограничена подвижность края поверхности или линий внутри ее; так, напр., 1) сферич. сегмент S, скользящий по плоскости, будет жестким или нет в зависимости от того, меньше или больше S полусферы; 2) кусок гиперболич. параболоида с двумя пересекающимися неподвижными образующими жесткий; 3) кусок плоскости с закрепленным краем нежесткий.

Замкнутые поверхности изучены с точки зрения Ж. более детально; так, напр., 1) замкнутая выпуклая поверхность жесткая (см. Бляшке Вейля формула, а также [2]); 2) в то же время есть и нежесткие замкнутые поверхности вращения знакопеременной кривизны; 3) тор жесткий; 4) замкнутый цилиндроид жесткий тогда и только тогда,когда площадь среднего сечения где S1 и S2площади верхнего и нижнего оснований; 5) метрич. произведение kдвумерных сфер является жестким в евклидовом пространстве E^3k и нежестким в Е ^3k+1, 1>0.

Так определенное понятие Ж. иногда ваз. Ж. 1-го порядка, вводится также Ж. 2-го и высших порядков. Понятие Ж. переносится на нерегулярные поверхности, напр, многогранники, однако и там основные результаты касаются лишь выпуклых многогранников (см. Коши теорема о многогранниках), и на поверхности в римановом пространстве, напр, замкнутые поверхности любого рода с положительной внешней кривизной жесткие.

Лит.:[1] Ефимов Н. В., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, М 2, с. 47-158; [2] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; [3] Кон Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной Геометрии в целом, М., 1959; [4] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959; [5] Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.Л., 1950; [6] Фоменко В. Т., "Матем. заметки", 1974, т. 16, в. 3, с. 441-45.

М. И. Войцехоеский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985