Математическая энциклопедия - осреднение

усреднение, операция вычисления средних значений функций, входящих в структуру дифференциальных уравнений, описывающих периодические, почти периодические и, вообще, колебательные процессы. Операция О. может рассматриваться как нек-рый сглаживающий оператор. Методы О. впервые стали применяться в небесной механике при исследовании движения планет вокруг Солнца. Позже они получили распространение в самых разнообразных областях: в теории нелинейных колебаний, в физике, в теории автоматич. регулирования, астро-динамике и др. Методы О. часто позволяют находить приближенные решения для исходных уравнений. Наиболее типичные классы дифференциальных уравнений, к к-рым применяются методы О., следующие.

1) Стандартные системы в смысле Н. Н. Боголюбова

где х, X - векторы, t - время, m - малый положительный параметр.

2) Многочастотные автономные 2p-периодические системы

где х, у, X, Y - векторы, причем

вектор частот.

3) Многочастотные неавтономные системы

Вместо систем (1)-(3) рассматриваются "более простые" осредненные системы 1-го приближения:

где

Формулы (4)(6) выражают наиболее распространенные схемы О.

Формула (6) выражает схему О. "вдоль порождающего решения". В функции Х( х, у, t).вектор усначала заменяется порождающим решением системы

после чего вычисляется интегральное среднее (6).

Принципиальный вопрос, к-рый возникает при замене систем (1)-(3), состоит в том, чтобы построить e-оценки для норм

на возможно большем (порядка ) промежутке времени, если

В этом состоит проблема обоснования методов О. Для систем (1) проблема обоснования методов О. была поставлена и решена Н. Н. Боголюбовым, результаты к-рого заложили основы современной алгоритмич. теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Лит.:[1J Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М., 1974; [2]Митропольский Ю. А., Метод усреднения в нелинейной механике, К., 1971; [3] Волосов В. М., Моргунов Б. И., Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем, М., 1971; [4] Гребеников Е. А., Рябов Ю. А., Конструктивные методы анализа нелинейных систем, М., 1979. Е. А. Гребеников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985