Математическая энциклопедия - освещения задача

задача определения минимального числа направлений пучков параллельных лучей или числа источников, освещающих всю границу выпуклого тела. Пусть К - выпуклое тело n-мерного линейного пространства , a bd Ки int К - соответственно граница и внутренность его, причем . Наиболее известны следующие О. з.

1) Пусть l - нек-рое направление в пространстве Rⁿ. Точка наз. освещенной извне направлением l, если прямая, проходящая через х параллельно I, проходит через нек-рую точку и направление вектора совпадает с l. Ищется минимальное число с(К).направлений в пространстве , достаточное для освещения в атом смысле всего множества bd K.

2) Пусть z - нек-рая точка множества Точка Кназ. освещенной извне точкой zесли прямая, определяемая точками z и х, проходит через нек-рую точку и векторы и одинаково направлены. Ищется минимальное число с' (К).точек из , достаточное для освещения в этом смысле всего множества bd К.

3) Пусть z - нек-рая точка множества bd К. Точка наз. освещенной изнутри точкой , если прямая, определяемая точками z и х, проходит через нек-рую точку и векторы и противоположно направлены. Ищется минимальное число р(К).точек из bd K, достаточное для освещения изнутри всего множества bd К.

4) Система точек наз. фиксированной для К, если она обладает свойствами: a) Zдостаточна для освещения изнутри всего множества bd K; б) Zне обладает никаким собственным подмножеством, достаточным для освещения изнутри множества bd K. Ищется максимальное число р' (К).точек фиксированной системы для тела .

Задача 1) была поставлена в связи с Хадвигера гипотезой (см. [1]): минимальное число тел b(К), гомотетичных ограниченному Кс коэффициентом гомотетии k,0<k<1, достаточное для покрытия К, удовлетворяет неравенству , причем значение b(К)=2ⁿ характеризует параллелепипед. Для ограниченного . Если Кнеограниченно, то и существуют такие тела, что с(К)<b (К).или (см. [1]).

Задача 2) поставлена в связи с задачей 1). Для ограниченного верно равенство с(К)=с' (К). Если же Кнеограниченно, то и . Число с' (К)для любого неограниченного

принимает одно из значений: (см. [1]).

Решение задачи 3) имеет вид: число р(К).определено тогда и только тогда, когда Котлично от конуса. В этом случае

,

причем р (K)=n+1 характеризует n-мерный симплекс пространства (см. [1]).

Для задачи 4) (см. [2]) предполагается, что при ограниченном верно неравенство

Каждая из О. з. тесно связана с нек-рым специальным покрытием тела К(см. [1]).

Лит.:[1] Болтянский В. Г., Солтан Н. С., Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978; [2] GriinbaumB., "Acta main. Acad. scihung.", 1964, v. 15, p. 161-63. П. С. Солтан.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985