Математическая энциклопедия - прямых метод

метод численного решения дифференциальных уравнений с частными производными (см. [1] [3]). Применим для нелинейных уравнений эллиптического [4], гиперболического [5] и параболического [6] типов любых порядков и систем уравнений. П. м. позволяет проводить численные расчеты в областях с криволинейными границами [7]. П. м. используется для решения разнообразных задач механики [8].

В П. м. производится аппроксимация операции дифференцирования по нек-рым направлениям, что позволяет понизить размерность задачи и заменить решение исходной системы дифференциальных уравнений с частными производными расчетом аппроксимирующей ее системы меньшего порядка.

С помощью П. м. решен ряд задач газовой динамики [9]. При этом задача интегрирования исходной системы дифференциальных уравнений с частными производными сводится к расчету аппроксимирующей ее системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В П. м. область интегрирования разбивается поперек ударного слоя рядом прямых лучей на полосы. Замыкающий луч расположен в сверхзвуковой области. Лучи располагаются соответственно узлам многочлена Чебышева или равномерно. Газодинамич. функции аппроксимируются кусочно линейно вдоль каждой полосы либо полиномиально с узлами интерполяции на всех лучах. Получаемая аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется вдоль каждого луча от ударной волны к телу. В отличие от интегральных соотношений метода не составляются интегральные соотношения и не выделяется минимальная область влияния затупления, что приводит к снижению точности, но упрощает вид аппроксимирующей системы (см. [10]).

П. м. проведены расчеты двумерного обтекания ряда тел вращения совершенным [11], равновесным [12] и неравновесным [13] газом. П. м. решена задача сверхзвукового обтекания сферы горючей смесью с использованием модели детонационной волны [14], ударной волны и фронта пламени [15] и др. С применением тригонометрич. аппроксимаций по меридиональному углу П. м. распространен на пространственно-трехмерный случай (см. [16], [17]), в том числе для неравновесного обтекания затупления [18].

Лит.: [1] Rоthе Е. Н., "Math. Ann.", 1930, Bd 102, S. 650-70; [2] Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., "Бюлл. МГУ. Секц. А", 1937, т. 1, в. 6, с. 1-26: [3] Доролницын А. А., в кн.: Конференция "Пути развития советского математического машиностроения и приборостроения", М., 195В; [4] Костюкович Е. X., "Докл. АН СССР", 1958, т. 118, № 3, с. 433-35; [5] Лебедев В. И., "Вест. МГУ", 1955, №10, с. 47-57; [6] Олейник О. А., Калашников А. С., Чжоу Юй-линь, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1958, т. 22, № 5, с. 667-704; [7] Будак Б. М., Горбунов А. Д., "Докл. АН СССР", 1958, т. 118, № 5, с. 858-81; [8] Алихашкин Я. И., "Вычислит, матем.", 1957, № 1, с. 136 52; [9] Гилинский С. М., Телснин Г. Ф., Тиняков Г. П., "Изв. АН СССР. Механ. и машиностр.", 1964, № 4, с. 9-28; [10] Белоцерковский О. М., Ч у ш к и н П. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 11)112, т. 2, .№ 5, с. 731 59; [11] Росляков Г. С., Теленин Г. Ф., в кн.: Сб. работ ВЦ Моск. ун-та, 1968, № 11, с. 93 112; [12] Тсленин Г. Ф., Тиняков Г. П., "Докл. АН СССР", 1964, т. 159, № 1, с. 39-42; [13] Стулов В. П., в кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике, в. 5, М., 1Й74, с,. 140-227; [14] Гилинский С. М., 3апрянор 3. Д., Черный Г. Г., "Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа", 1966, № 5, с. 8 -13; [15] Гилинский С. М., Черный Г. Г., там же, 1968, № 1, с. 20-32; [16] Миносцев В. Б., Толенин Г. Ф., Тиняков Г. Ц., "Докл. АН СССР", 1968, т. 179, № 2, с. 304 07; [17] Базжин А. П., Челышева И. Ф., "Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа", 1967, № 3, с. 119-23; [18] Семенихина О. Н., Шкадова В. П., там же, 1973, № 2, с. 99-103.

Ю. М. Давыдов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985