Математическая энциклопедия - прямое произведение

одна из основных общематематич. конструкций, идея к-рой принадлежит Декарту; поэтому П. п. наз. также декартовым произведением. П. п., или просто произведением, двух непустых множеств X и Y наз. множество , состоящее из всех упорядоченных пар вида ( х, у), где

Если одно из множеств Xили Y пусто, то произведение пусто. Множество можно отождествить с множеством функций, определенных на двухэлементном множестве {1, 2} и принимающих значения в множестве Xпри значении аргумента, равном 1, и в множестве Yпри значении аргумента, равном 2. Это отождествление позволяет распространить определение П. п. на случай любого количества множителей. Пусть I нек-рое множество индексов и пусть Xi - произвольное семейство множеств, заиндексированных элементами множества I. П. п. семейства множеств наз. множество таких функций , где , что для каждого . Обычно П. п. обозначается ; для конечного множества индексов I= {1, ..., п}используются также обозначения или . Если I состоит из одного элемента 1, то . Иногда П. п. конечного числа множителей определяется индуктивно:

Значение конструкции П. п. определяется прежде всего тем, что в нем естественно вводится дополнительная структура, если все множители являются однотипными математич. структурами. Напр., пусть Xi, ,- однотипные алгебраич. системы, т. е. множества с общей сигнатурой конечноместных предикатов и операций. Тогда произведение превращается в алгебраич. систему с той же сигнатурой: для функций и n-арной операции w действие функции f1. ..fnw на элемент iопределяется равенством

значение предиката Р(f1, . . ., fn) истинно, если для любого истинно значение P(f1(i), . . ., fn(i)). При этом выполнение во всех Xi определенных тождеств влечет за собой их выполнение в произведении. Поэтому П. п. полугрупп, групп, колец, векторных пространств и т. п. снова являются полугруппами, группами, кольцами, векторными пространствами соответственно.

Для любого множителя П. п. существует естественная проекция , определяемая равенством fpi=f(i). Множество Xи семейство проекций , обладают следующим универсальным свойством: для любого семейства отображений существует такое однозначно определенное отображение , что gi=hpi для каждого . Это свойство сохраняется в случае, когда все Xi - однотипные алгебраич. системы, и позволяет определить подходящую топологич. структуру П. п. топологич. пространств. Сформулированное свойство лежит в основе определения произведения объектов категории.

Многие задачи математики связаны с описанием математич. объектов, неразложимых в П. п., и с выяснением условий, при к-рых множители произведения определены однозначно с точностью до изоморфизма. Классич. результатами здесь являются теорема о строении конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов и теорема Ремака Шмидта о центральном изоморфизме прямых разложений групп с главным рядом.

П. п. иногда наз. полным прямым произведением в отличие от дискретного прямого произведения (или прямой суммы), к-рое определяется в тех случаях, когда дополнительная структура в множителях позволяет выделить одноэлементные подструктуры (напр., единичные подгруппы, нулевые подпространства и т. п.). Как правило, П. п. конечного числа множителей совпадает с дискретным произведением. М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985