Математическая энциклопедия - пятый постулат

, аксиома параллельности Евклида,через точку Рвне прямой АА' в плоскости, проходящей через Ри АА', можно провести лишь одну прямую, не пересекающую АА'. В "Началах" Евклида П. п. был приведен в следующей эквивалентной формулировке: "И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых" (см. [1]). У комментаторов Евклида возник взгляд, что это предложение можно доказать, опираясь на остальные аксиомы.

Попытки доказательств возникли еще в Древней Греции. Эти попытки продолжались на Средневековом Востоке, а затем в Западной Европе. Если не говорить о прямых логич. ошибках, то обычно неявно (а иногда и с отчетливым пониманием) вводилось предположение, не выводимое из остальных аксиом, к-рое оказывалось таким образом эквивалентным П.

п. Напр., расстояние между параллелями ограничено, пространство допускает "простое" (поступательное) движение (все траектории прямые линии), две сближающиеся прямые всегда пересекаются, существуют подобные не равные фигуры, сумма углов треугольника равна двум прямым и др.

Дж. Саккери (G. Saccheri, 1733) рассматривал четырехугольник с прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Ранее такой четырехугольник рассмотрел Омар Хайям (11-12 вв.). Из трех возможных гипотез об остальных двух равных углах (они тупые, они острые, они прямые) он стремился отвергнуть две первые, т. к. из третьей вытекал П. п.

Дж. Саккери удалось привести к противоречию следствия из первой гипотезы, но он совершил логич. ошибку в опровержении гипотезы острого угла. И. Ламберт (J. Lambert, 1760, опубл. 1786) при аналогичном подходе опровергнул гипотезу острого угла, тоже совершив при этом серьезную ошибку. Он высказал предположение, что такая геометрия осуществляется на мнимой сфере.

А. Лежандр (A. Legendre, 1800) в первых изданиях учебника "Элементы геометрии" исходил из суммы Sуглов треугольника. Опровергнув гипотезу S > 2d, он допустил ошибку при выводе следствий из гипотезы S < 2d, а именно, он неявно ввел аксиому, что для любой точки внутри острого угла существует прямая, проходящая через эту точку и пересекающая обе стороны угла.

Решение проблемы П. п. (точнее ее снятие) было получено путем создания Н. И. Лобачевским (1826) геометрии, отрицающей П. п. Из непротиворечивости Лобачевского геометрии следует независимость П. п. от др. аксиом евклидовой геометрии.

Лит.;[1] Начала Евклида, пер, с греч,, т. 1 .